有限元方法一致质量矩阵的理论分析与应用

胡 可

( 广东科学技术职业学院 建筑工程与艺术设计学院，广东 珠海 519090 )

0 引言

预应力问题的研究在工程领域得到广泛应用[1-2].利用有限元方法[3-5]对预应力问题进行研究是有效的[6]，质量矩阵模式影响有限元分析的结果[7]，相对其他质量矩阵模式[8]，一致质量矩阵模式在有限元分析中实用更加广泛，如对角线化的一致质量矩阵[9]、有限元一致质量矩阵迭代解[10]、全耦合梁单元的一致质量矩阵[11]等.一致质量矩阵既可用整体坐标表示，也可用局部坐标表示.尽管可以通过变换矩阵[12]达到统一，但对相对简单研究对象的实际计算是不方便的.笔者推导质量矩阵坐标变换公式，将单元的一致质量矩阵的表示统一在整体坐标系下，给出空间桁架单元、梁单元及三角形膜单元一致质量矩阵的计算方法.

1 质量矩阵坐标变换

有限元分析比较实用的质量矩阵即为单元一致质量矩阵，在推导质量矩阵与刚度矩阵时，使用相同的位移模式：

(1)

在建立单元一致质量矩阵时，为了计算方便，在局部坐标系下推导单元质量矩阵，然后变换到整体坐标系中.设me、qe与q′e分别为局部坐标系下的单元质量矩阵、节点位移向量、节点速度向量，单元动能T在局部坐标系下一般表示为

eTmeq′e.

(2)

如果单元节点位移与节点速度用整体坐标系下的Qe与Q′e表示，则存在变换关系

qe=λQe，q′e=λQ′e.

将其代入式(2)得

eTλTmeλQ′e.

(3)

如果在整体坐标系下的单元质量矩阵用Me表示，则单元动能可以表示为

eTMeQ′e.

(4)

由于动能为标量，则与坐标无关，令式(3)与式(4)相等，得到整体坐标系下的单元质量矩阵为