频谱概念的建立及其教学法探讨

张玉山 刘纯利

（安徽科技学院，安徽 凤阳 233100）

频谱概念的建立及其教学法探讨

张玉山 刘纯利

（安徽科技学院，安徽 凤阳 233100）

频谱分析是信号与系统课程中基本理论，在通信学、控制学、测试学等学科都具有重要地位。本文提出一种频谱分析的概念建立的教学方法，该方法利用前修课程如电路分析、电子技术等课程的相关知识，结合具体电路与信号循序渐进地给出频谱及频谱分析的物理意义，然后再给出频谱分析的数学方法。本方法可以让学生更深刻地认识频谱的物理意义，亦在教学中取得了较好的效果。

频谱分析；教学方法；信号与系统

信号与系统是电子信息、通信工程、自动控制类专业的一门十分重要的专业基础课程。是数字信号处理、通信原理、自动控制原理等课程的必须的前修课程。本课程主要研究信号与线性系统的基本理论以及基本分析方法。初步认识如何建立信号与系统的数学模型，经适当的数学分析求解，对所求的结果给以物理解释、赋予物理意义[1]。

在信号与系统中，信号频谱分析这一章节又是重中之重。尤其对于通信类专业而言。因为通信中各种信号的频谱分析是分析信号变化的最基本的分析手段。如果学生不能很好地理解信号频谱的概念，对后续相关课程的学习的影响是巨大而深远的。频谱的概念之所以难讲，是因为一方面频谱的概念相对比较抽象的，计算公式比较复杂；另一重要因素是学生对用时间来描述信号的特征这一固定思维模式，会认为描述信号就是将信号描述为随时间变化的函数，而不能很好理解信号的本质属性也可以用频率来进行描述。

基于上述原因，在教学过程中绝对不能通过数学公式来强制灌输信号频谱的概念，因为这样学生只是记住了一个公式而已，并没有理解其本质，这会让学生困惑，进而影响其学习的兴趣。本人在近年来的教学实践中总结出一种较好的教学方法，此方法按如下四步进行。

1 由电路分析知识引出幅频特性的概念

首先给学生展示图1和图2所示两张电路图，这是简单的RC电路。

图1

图2

以电路图1为例，当输入信号为单频正弦信号时输出响应的幅值与输入正弦信号幅值之间有着特定的关系。根据电路理论知识，可以得到如下关系式：

据根公式1，易知正弦信号角频率越大，输出正弦信号幅值越小，反之，输出正弦信号幅值越大。输出信号的幅值因输入信号频率变化而变，即输出信号的幅值是信号频率的函数。

为了分析的结论更具有一般性（输入正弦信号幅值为任意值），现在不妨以频率f=ω/2π为横坐标，并定义输出信号与输入信号的幅值之比为纵坐标，根据上面的分析可作出关系曲线图如图3所示：

图3

图4

通过图3可以很直观地看出输出信号幅度与频率之间的变化关系。我们把这种关系称之为系统的幅频特性。同理也可以得到图2所示电路的幅频特性如图4所示。

2 由幅频特性引出滤波器的概念

由图3和图4幅频特性图，可以看出当频率较小时，因为输入信号的幅值是一定的，A值大则输出信号幅度大，表明信号可以很好地通过系统；但频率较大时，输出信号幅度小，信号则被系统所抑制。这种可以让特定频率通过，而抑制其它频率信号通过的器件，称之为滤波器。具有类似图1电路可以让低频信号通过而抑制高频信号的幅频特性的滤波器，称之为低通滤波器。具有类似图2电路可以让高频信号通过而抑制低频信号的幅频特性的滤波器，称之为高通滤波器。同理根据频率截止特性的不同，还可得到带通以及带阻两种滤波器。

为了便于从数学模型的角度分析问题，不妨把滤波器的特性理想化，即具有如图5和图6所示的幅频特性，这样便得到了相应的理想滤波器。

图5

图6

在这里，我们很自然地引出了滤波器的概念，为下面进一步引出频谱的概念作好铺垫。

3 由方波通过特定滤波器引出频谱的概念

为了引出频谱的概念，我们把上面的问题拓展一下：如果是任意的周期信号（比如方波）通过理想的滤波器后又会出现什么现象呢？

为了分析问题的方便，不妨通过采用1KHz方波通过不同特性的带通滤波器为例解释以上问题。为了使学生更易理解，可以选用运放构成有源带通滤波器，仿真软件使用界面直观，测试仪器丰富，易于上手的multisim8。构成的带通滤波器如图7所示[2]。该滤波器为多路负反馈二阶有源带通滤波器，它使用单个通用运算放大器（通用运放）接成单电源供电模式，易于实现。它的上限截止频率和下限截止频率可以非常近，具有很好的频率选择性。该滤波器中心频率fc=品质因数，带宽其中可以适当地设置 R1，R2，R3，C1，C2这几个元件的参数使滤波器的频率截止特性满足要求。

根据计算可得到中心频率为1KHz，带宽为100Hz时电路各元件参数如图7所示：图8为图7通过交流小信号分析得到的该滤波器的幅频特性（幅度的单位为dB）：

图7

从图7中可以看出当1KHz方波 （见函数信号发生器）通过该带通滤波器后输出信号的波形是正弦波（见示波器），其频率为1KHz（见频率计）。

依次类推，可以通过计算改变元件的参数使得该滤波器的中心频率分别为 2KHz，3KHz，4KHz，5KHz……，重复以上实验。结果是当滤波器中心频率为2，4，6等偶数千Hz时，其输出幅度很小（因为截止特性不可能理想）甚至可以忽略；而当滤波器中心频率为1，3，5等奇数千Hz时，其输出为幅度较大的正弦波，而且随着中心频率的增大，输出信号的幅度逐渐减小。

此时向学生启发性地提出问题：方波通过滤波器后为什么会出现上述现象？这是因为方波中包含有多个不同频率的正弦分量，这些频率分量有大有小，方波通过滤波器时，在滤波器通频带内的频率分量可以通过，而带外分量则被抑制，故而出现上述现象。

4 给出信号频谱的数学分析方法及其意义[3]

至此，大部分同学都能明白方波中包含了各种不同的频率分量。那如何知道方波中包含了哪些频率成分以及各频率信号的大小呢？这就需要借助于数学分析方法，对于周期性信号可以通过傅立叶级数展开式来分析其中包含的频率分量以及各频率信号的大小。那么在这里就可以很自然地引出利用傅立叶级数展开式来分析周期信号的频谱。

为了让学生更好地理解傅立叶级数展开式，有两个问题应该向学生交待清楚：

4.1 为什么周期信号可以用不同频率的正弦波相叠加的形式表示；

4.2 为什么傅立叶级数采用正弦波作为基函数？

前一个问题可以通过数学中信号空间以及完备正交函数集的概念进行解释。对于周期函数而言，三角函数集是完备的正交函数集。而第二个问题是因为正弦信号所独有的高保真度，即正弦信号作相加（同频）、微分或积分运算后得到的仍然是同频正弦信号。这个特性使得正弦信号通过线性系统后，输出信号仍是正弦信号，只是幅度和相位可能发生变化。所以采用正弦波作为傅立叶级数的基函数。

在学生掌握了傅立叶级数展开式之后，再通过正弦谐波合成方波的例子给学生建立相频特性重要性就比较容易了。这样学生就可以在头脑中建立一个深刻的、完整的频谱分析的概念。

5 总结

本教学方法首先借助于《电路分析》课程中中正弦稳态分析相关知识因势利导给学生建立幅频特性的概念，然后引出滤波器的概念，并由方波通过带通滤波器的例子给学生初步建立频谱的概念，让学生理解频谱是什么，有什么作用，最后再给出给出求解信号频谱的公式，让学生知道怎么通过数学方法来求解信号的频谱。这种方法突出了承上启下、循序渐进的教学理念，在实际的教学过程中亦取得了较好的教学效果。

[1]张培玲.信号与系统课程教学改革初探[J].机械管理开发.2009,24（4）.

[2]康华光.电子技术基础-模拟部分(第五版)[M].高等教育出版社.2010.

[3]袁建华.《信号与系统》中傅立叶级数的教学探讨[J].中国科教创新导刊.2009，（31）.

PROBE INTO TEACHING METHODS OF ESTABLISHING SPECTRUM CONCEPT

ZHANG Yu-shan LIU Chun-li
(Anhui Science and Technology University,Fengyang Anhui 233100)

Spectrum analyzing is basic theory of the course of signal and systems.It plays an important role in communications,cybernetics and metrology.This article proposes a teaching method of establishing spectrum analyzing concept.This method utilizes the related knowledge of the former courses,such as circuit analysis and electronic technology,gives physical significance of spectrum step by step through physical circuit or signal,and finally gives the mathematical method for analyzing spectrum.This method can help students to realize physical interpretation of spectrum profoundly,also gets results in teaching.

Spectrum analyzing;teaching method;signals and systems

A

1672－2868（2011）03－0135－04

2011-3-29

安徽科技学院重点教研项目（项目编号：X201008）

张玉山（1981-），男，江苏盐城人。安徽科技学院工学院教师，研究方向：信号处理

责任编辑：陈 凤