半直线上一类分数阶耦合系统边值问题解的存在性

朱思念, 王 刚

(中国矿业大学 理学院, 江苏 徐州 221008)

半直线上一类分数阶耦合系统边值问题解的存在性

朱思念, 王 刚

(中国矿业大学 理学院, 江苏 徐州 221008)

讨论了一类半直线上分数阶耦合系统边值问题解的存在性,其中非线性项含有分数阶导数,通过建立合适的相对紧的判定准则,结合Schauder不动点定理,得到了解的存在性．

分数阶; 无穷区间; 不动点定理; 边值问题

0 引言

无穷区间上的边值问题起源于非线性椭圆方程对称解的研究,由于无穷区间不具有紧性,给讨论增加了一定难度,为此人们给出了一些判定相对紧的准则[1].近些年来,分数阶微分方程引起了人们的广泛兴趣,出现了许多出色的成果[2-5], 然而很少有文章讨论分数阶微分方程在无穷区间上解的存在性[6-8].在文[6]中,作者使用Schauder不动点定理结合对角化原理,讨论了如下无穷区间上有界解的存在性:

受上述文献启发,本文考虑如下分数阶无穷区间耦合边值问题

(1)

和

(2)

为方便起见,先给出一些预备知识和引理及假设.

1 预备知识和引理

定义1[5]函数y:(0,+∞)→R的α阶Riemann-Liouville分数阶积分为

其中αgt;0,Γ(·)为gamma函数.

定义2[5]连续函数y:(0,+∞)→R的α阶Riemann-Liouville分数阶导数为

其中αgt;0,Γ(·)为gamma函数,n=[α]+1.

其中N=[α]+1

本文总假设以下条件成立:

(H) 存在非负函数a(t),b(t),c(t),k(t),l(t),m(t)∈L1(J)使得

且满足

考虑空间

类似的有

由于无穷区间不具有紧性, 我们给出如下引理, 具体证明类似文献 [8] 的引理2.3.

引理2V⊆E为有界集, 即V={(x,y)∈E|‖(x,y)‖Elt;l}, 如果下列条件满足:

有

其中t1,t2≥T.

引理3 假设条件(H)满足, 则边值问题(1)(2)的解等价于以下积分方程

定义算子……