圆锥曲线切线作法的一次探究

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(温州中学 浙江温州 325014)

圆锥曲线切线作法的一次探究

●金长林

(温州中学 浙江温州 325014)

在解析几何问题中，常遇到有关二次曲线的切线问题.对于这些问题一般都是联立方程组，再利用判别式确定切线方程.而作为代数形式的几何问题能否用几何本身的方法作图来解决呢？

对这个问题的思考源于对一个几何命题的研究，命题如下：

图1

命题1过圆O外任意一点A引圆的3条割线ABC,ADE，AFG,依次交圆于点B,C;D,E;F,G，如图1.其中DC交BE于点H,EF交DG于点L,直线HL交该圆于点J,K,求证：AK,AJ都是该圆的切线.

引理1设圆O的方程为x2+y2=r2，P(x0,y0)为圆O外的一点，过点P作圆O的2条切线，切点分别为Q,R,则称线段QR为圆O对应于点A的切点弦，则直线QR的方程为：x0x+y0y=r2.

证明建立直角坐标系，设Q(x1,y1),R(x2,y2)，则圆O在点Q处的切线方程为：x1x+y1y=r2，因为点P在此直线上，所以

同理可得

x0x2+y0y2=r2.

(2)

由式(1)，式(2)知,点Q(x1,y1),R(x2,y2)在直线x0x+y0y=r2上，因此直线QR的方程为

x0x+y0y=r2.

图2

引理2圆的外切四边形的对角线及对边的切点的连线四线共点.

同理可得

由弦切角性质可知∠AHG+∠CGH=π,因此

sin∠AHG=sin∠CGH.

同理可得

sin∠AEF=sin∠CFE.

比较式(3),式(4)可得

易得β=γ，从而A,P,C三点共线.同理可得B,P,D三点共线，故AC,BD,EF,GH四线共点.

有了以上2个引理的帮助，可得引理3.

图3

引理3如图3，设PAB,PDC为圆O的2条割线，AC,BD交于点X,则点X在圆O对应于P的切点弦上.

证明如图3，分别作圆O在A，B，C，D点处的切线，设圆在A，B处的切线交于点Y,圆在C，D处的切线交于点T.根据引理2可得,Y，X,T三点共线，于是可建立直角坐标系.设P(x0,y0)，Y(x1,y1),T(x2,y2),圆的半径为r,则由引理1知,直线AB的方程为

x1x+y1y=r2.

因为点P在直线AB上，所以

x0x1+y0y1=r2.

同理可得

x0x2+y0y2=r2,

易知点Y(x1,y1),T(x2,y2)在直线x0x+y0y=r2上.又因为Y,X,T三点共线,所以点X在直线x0x+y0y=r2上，即点……