巧用图形变换解题

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(温州市实验中学 浙江温州 325000)

巧用图形变换解题

●周利明徐招峰

(温州市实验中学 浙江温州 325000)

初中数学学习中涉及的图形变换主要是轴对称变换(也称为翻折变换)、平移变换、旋转变换这几类，灵活运用这些变换可以帮助我们解决一些看似复杂的数学问题.

1 轴对称变换

例1在凸四边形ABCD中，∠ABDgt;∠CBD,∠ADBgt;∠CDB,求证：AB+ADgt;BC+CD.

分析要证明结论AB+ADgt;BC+CD，即证明折线BADgt;折线BCD.由于这2条折线是有公共端点的，因此可考虑翻折，作轴对称变换，找到2条折线的包含关系即可得证．

证明如图1,把△BCD沿BD所在的直线翻折到△BC′D.因为

∠ABDgt;∠CBD,∠ADBgt;∠CDB,

所以△BC′D落在△BCD内.延长BC′交AD于点E．由

AB+AEgt;BE,BE=BC′+C′E,

得

AB+AEgt;BC′+C′E.

(1)

而C′E+EDgt;C′D,

(2)

式(1)+式(2)得

AB+AE+EDgt;BC′+C′D.

又因为AE+ED=AD,BC′=BC,C′D=CD,

所以

AB+ADgt;BC+CD.

图1 图2

例2设P是⊙O的弦AB的中点，过点P作任意弦CD和EF,连结CE,DF分别交AB于点M和N.求证：P是线段MN的中点(即著名的“蝴蝶定理”)．

分析利用全等三角形来证明PM=PN，是最直接、最熟悉的手段，把PM,PN各作为三角形的一条边，从而寻找或构造全等三角形．为此,把CD沿PO所在的直线翻折到C′D′,只需证明△CPM≌△C′PN即可．

证明如图2,把CD沿PO所在的直线翻折到C′D′．由PO过圆心，且P是⊙O的弦AB的中点，可得点C′,D′在圆周上，连结CC′,DD′,C′N，则C′,D′,D,F四点共圆，因此

AB⊥PO,DD′⊥PO,

于是

AB∥DD′,

即

PN∥DD′，

从而C′,P,N,F四点共圆，得

∠PC′N=∠PFN=∠MCP.

因为

∠CPM=∠C′PN,CP=C′P,

所以

△CPM≌△C′PN,

于是

PM=PN，

即点P是线段MN的中点．

2 平移变换

例3如图3,点O是ABCD内的一点，∠AOB+∠COD=180°,求证：∠OBC=∠ODC．

分析由条件∠AOB+∠COD=180°,很容易联想到:如果这2个角是四边形的对角的话，那么该四边形的顶点共圆，则容易得到角度之间的相等关系．因此考虑将△COD沿与CB平行的方向进行平移，使得DC与AB重合，得△APB,APOD,PBCO,则A,P,B,O四点共圆，从而问题得证.

证明将△COD沿与CB平行的方向进行平移，使DC与AB重合，得△APB.由平移性质可……