一类高阶周期系数线性微分方程解的性质

陈创鑫, 陈宗煊

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

1 引言与结果

本文使用值分布理论的标准记号[1-2].用记号σ(f)表示亚纯函数f(z)的增长级,λ(f)表示f(z)的零点收敛指数,并引进下列定义.

为了研究周期系数线性方程解的性质,BANK和LANGLEY在文献[4]中初步涉及了一个e-型级概念,CHIANG和GAO在文献[5]中比较确切地提出了e-型级的概念,即

文献[5]还证明了：假设A(z)=G(ez)=G(ζ),ζ=ez,G(ζ)在0<|ζ|<+∞内解析,那么

若A(z)为周期整函数,且A(z)=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)为ζ的有理函数.明显地必有下列形式B(ζ)=ζ-m(anζn+an-1ζn-1+…+a0).明显地,若n>m,则ζ=∞必是B(ζ)的n-m阶极点.

已有多人对二阶周期系数方程解进行了研究[4-5,7-9],而对高阶周期系数方程解的研究甚少．BANK和LANGLEY在文献[4]中得到了下面的重要结果.

定理1 假设k≥2,A0是以2πi为周期的整函数,假设A0是ez的有理函数,A1,…,Ak-2为常数.如果f(z)(≢0)是微分方程

f(k)+Ak-2(z)f(k-2)+…+A0(z)f=0

(1)

的解且满足

(2)

那么存在q(1≤q≤k)满足f(z)和f(z+q2πi)线性相关.

定理2 假设k≥2,A0是以2πi为周期的整函数,假设A0是ez的有理函数,A1,…,Ak-2为常数.如果f(z)(≢0)是微分方程(1)的解且满足式(2),那么存在整数q(1≤q≤k),常数d,及在1<|ζ|<+∞内解析的有理函数R(ζ)和S(ζ),使得

定理1指出存在q(1≤q≤k),满足f(z)和f(z+q2πi)线性相关.后来,陈宗煊[6]证明了定理3,指出B(ζ)是多项式且其次数n不能被k整除时,f(z)和f(z+2πi)是线性无关的.

定理3 假设k≥2,A0是以2πi为周期的整函数,假设A0=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)是n次多项式,且n不能被k整除；A1,…,Ak-2为常数.如果f(z)(≢0)是微分方程(1)的解且满足式(2),那么f(z)和f(z+2πi)线性无关,且有σ2(f)=1和σe(f)=n/k.

命题1 假设f(z)为亚纯函数,那么

(i)如果σ2(f)<1,则σe(f)=0;

(ii)如果σ2(f)>1,则σe(f)=∞;

(iii)如果0<σe(f)<∞,则σ2(f)=1.

一个自然的问题是,当B(ζ)(ζ=ex)是有理函数时,f(z)和f(z+2πi)的线性相关性将如何？本文在下面的定理4中回答了这个问题.

定理4 假设k≥2,A0是以2πi为周期的整函数,假设A0(z)=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)=ζ-m×(anζn+…+a0),不退化为常数,其中an≠0,且ai(i=0,1,…,n)为常数.A1,…,Ak-2为常数.设u=min{i:ai≠0,i=0,1,…,n},并令s=max{n-m,m-u}.如果f(……