PCA分块Rees矩阵半群

陈 晔,李勇华

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

格林关系是研究正则半群的一个重要工具,推广正则半群的一个有效途径是建立新的格林关系来研究更大的半群类.MCALISTER[1]和PASTIJN[2]首先提出格林*-关系,其定义如下:设S是半群,则

H*=L*∩R*,D*=L*VR*.

若半群S的每个L*-类和每个R*-类都含有一个幂等元,则称S为富足半群.

文献[3]利用S-系的张量积[4]阐述了PA分块Rees矩阵半群的概念,下面引入一些准备知识.设I,Λ≠,Γ(≠)对I和Λ分别进行分划得到:P(I)={Iγ:γΓ},P(Λ)={Λγ:γΓ}.约定用i,j,k,h表示I中的元;用λ,μ,ν,ρ表示Λ中的元;用α,β,γ,δ表示Γ中的元.对于任意的序对(α,β)Γ×Γ,设Mαβ是这样一个集合,它满足:对于任意的α,Mαα=Tα是仅含一个幂等元eα的幺半群且对于α≠β,要么Mαβ=,要么Mαβ是一个(Tα,Tβ)-双系.0(零元)表示不在任何Mαβ中的元.

文献[5]定义了半群上的格林∘-关系,从而获得了一类半群——∘-富足半群:设S是半群,则

H°=L°∩R°,D°=L°∨R°.

如果半群S的每个L°-类和每个R°-类都含有幂等元,则称S是∘-富足半群.不难验证L°是S上的等价关系.设S是半群,则L⊆L*⊆L°.若S是正则的,则L=L*=L°.

本文第1节给出了格林∘-关系的几个基本性质.第2节用∘-幺半群和这类半群的双系构造了一类新的半群——PCA分块Rees矩阵半群.FOUNTAIN[3]用可消幺半群和双系构造了PA分块Rees矩阵半群,并证明了每一个含零的本原富足半群都同构于一个PA分块Rees矩阵半群.作为半群类的扩张，本文第3节证明了每一个含零的本原∘-富足半群都同构于一个PCA分块Rees矩阵半群.最后给出例子说明一个半群可以是本原∘-富足半群,但不是本原富足半群.

对于本文中没有给出的术语和记号,请参阅文献[3]和文献[4].

1 ∘-关系……

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