一类具(拟-)Baer性的特殊Morita Context环

2011-12-08 11:34金海兰朴哲林崔海兰
关键词:同态定理定义

金海兰,朴哲林,崔海兰

(1.延边大学理学院 数学系,吉林 延吉133002;2.吉林市朝鲜族中学,吉林132021)

一类具(拟-)Baer性的特殊Morita Context环

金海兰1,朴哲林1,崔海兰2

(1.延边大学理学院 数学系,吉林 延吉133002;2.吉林市朝鲜族中学,吉林132021)

通过反例得出R为Baer环时,斜群环R*G与固定环RG未必是Baer环的结论.进而探讨了斜群环和固定环构成(拟-)Baer环的条件.通过对Morita Context环分解,得到斜群环和固定环构成的Morita Context环作成(拟-)Baer环的条件.

Baer环;拟-Baer环;Morita Context环;斜群环;固定环;单环

0 引言

Baer环是一类经典环,其理论在数学的其他分支有着广泛的应用.所谓Baer环是指对于一个环R,如果R的非空子集(右理想)的右零化子是由幂等元生成的右理想,则称R为)Baer环[1];如果R环的每个主右理想的右零化子是由幂等元生成的右理想,则R 称为右主拟,简记为右环[2].Baer环的概念可以在模中推广:对于一个右模MR,如果MR的非空子集(子模)的右零化子是由幂等元生成的右理想,则称MR为模[3];环R为环当且仅当RR为模[4].

Morita Context理论最初是由K.Morita在文献[6]中为证明单环结构的 Wedderburn定理引进的,后来成为一个重要的研究工具,尤其是在构造环论中具有特性的环时,常用Morita Context环来构造.所谓 Morita Context指的是六位一体的代数结构(R,V,W,S,ψ,φ),其中R和S 为环,V =RVS为R-S双模,W =SWR为S-R双模,ψ∶V⊗SW →R为双模中间线性同态,φ∶W ⊗RV→S为双模中间线性同态,且对任意 ∀v,v′∈V,w,w′∈W,满足ψ(v⊗w)v′=vφ(w⊗v′),φ(w⊗v)w′= wψ(v⊗ w′)[7].

文献[5]探讨了C*_代数A和A的自同构群G上的斜群环A*G和固定环AG的一些性质.文献[1]证明了R为半素右.Baer环,而且还证明了存在Baer环,G为X-outer有限群时,R*G为右p.q-没有非零挠的半素Baer环R和它的X-outer有限群G,使得R*G不是Baer环,但未能给出斜群环和固定环的环构成条件.文献[9-10]探讨了具有一对模零同态的Morita Context环的性质,指出若R为含幺环,G为群,则为Morita Context环,但没有给出关于斜群环R*G和固定环RG作成的Morita Context环的(拟Baer性的相关结论.本文首先通过反例给出R为Baer环时,斜群环R*G和固定环RG未必是Baer环的结论,然后探讨了斜群环和固定环的)Baer环构成条件.进一步,通过把Morita Context环分解成有限个Baer模的直和,得出判别斜群环R*G和固定环RG做成的Morita Context环的aer性的方法.本文中所有的环都是含幺结合环,所有的模都是酉模.

1 斜群环的(拟Baer性

定义1 设R为环,G为群,δ∶G→Aut(R)为群同态映射.令只有有限个rg≠0},则R*G关于如下定义的加法和乘法和做成一个环,其中rg= (δ(g-1))(r),称之为斜群环.

定义2 设R为环,g∈Aut(R),如果存在单位u∈U(R),使得对任意x∈R,g(x)=uxu-1,则称g为环R的内自同构;如果G的内自同构只有恒等映射,则称G为outer群[7].

设R为环,如果R2≠0且R没有真理想,则称R为单环;如果环R的所有极大左理想的交集J(R)=0,则称环R为半单环[12].含幺单环为半单环,若R为半单环,则R为左Artinian环当且仅当它为右 Artinian环[11].

引理1[7]设R为含幺单环,G为outer群,则R*G为单环;若R为Artinian环,则R*G为Artinian单环.

引理2[8]半单环为Baer环.

定理1 若R为含幺单环,G为outer群,则R*G为Baer环.

由引理1和引理2,结论显然成立.

定义 3 设R为 半 素 环,I为R的 理 想,AnnR(I)表 示I的 零 化 子. 令U=∪其中为R的理想且对于I,J∈U,f∈Hom(IR,RR),g∈Hom(JR,RR),定义U上的等价关系~:f~g⇔存在K∈U,使得K⊆I∩J且令,则Qr(R)关于如下定义的加法和乘法做成一个环,称之为Martindale右商环.

定义4 设R为半素环,对于g∈Aut(R),如果,则称g为X-outer自同构;如果任意1≠g∈G为X-outer自同构,则称Aut(R)的子群G为X-outer群[1].

定理2 设R为半素环,G为X-outer群,若R为含幺单环,则R*G为Baer环.

证明 因含幺单环为半单环,所以由引理2知定理显然成立.

2 固定环的()Baer性

定义 设R为环,G为群,δ∶G→Aut(R)为群同态映射,令其中rg= (δ(g))(r),则称RG为R在G下的固定环.

例2 设R为环那么RG=即RG表示与R中单位均可交换的元素的集合.

例3 存在一个环R为Baer环,但RG不是Baer环.设R为例1所定义的环,则U(R)=对于若,则a=c.由例2的结论知而RG的幂等元只有和,因此对其中e2=e∈RG,所以RG不是Baer环.

引理3[7]若R 为含幺环,G 为群,则

设M为右R -模,如果MR≠0且M没有真子模,则称M为单模;若M可以写成一族单模的直和,则称M为半单模.

引理4[11]右Artinian含幺半单环R上的模M为半单模.

引理5[8]若R为含幺环,M为右半单R -模,则S=End(MR)为Baer环.

定理3 设R为含幺单环,G为outer群,若R为Artinian环,则RG为Baer环.

证明 因R为含幺单环,G为outer群,所以由引理1知R*G为单环,且R为Artinian环,故R*G为含幺Artinian单环,因此R*G为Artinian半单环.由引理4知RR*G为半单模,再由引理5知End(RR*G)为Baer环,进而由引理3知RG为Baer环.

3 斜群环和固定环做成的Morita Context环的()Baer性

引理6[12]半单模为Baer模.

例4 设R为含幺环,G为群,易得R为RG-R*G双模.令R*= Hom(RR*G,R*GR*G),那么R*做成R*G-RG双模.对 ∀γ,s∈R,α,β∈R*,规定:

和RG为单环.由定理4知且为拟aer环为Baer环,

[1]JIN Hailan.Principally Quasi-Baer Ske wGroup Ring and Fixed Ring[D].Pusan:Pusan National University,2003:1-19.

[2]Birkenmeier G F,Kim J Y,Park J K.Principally Quasi-Baer Rings[J].Comm Algebra,2001,29(2):1-22.

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[10]王尧,任艳丽.具有一对零同态的 Morita Context环Ⅱ[J].数学研究与评论,2007,27(4):687-692.

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[12]Tariq Rizvi S,Roman Cosmin S.Baer and Quasi Baer Modules[J].Comm Algebra,2004,32(1):103-123.

A Class of Special Morita Context Ring with(Quasi-)Baerness

JIN Hai-lan1,PIAO Zhe-lin1,CUI Hai-lan2
(1.Department of Mathematics,College of Science,Yanbian University,Yanji 133002,China;2.Jilin Korean Nationality Middle School,Jilin 132021,China)

We provided a counterexample to prove when R is Baer ring,R*G and RGare not necessarily Baer ring.Accordingly,studied the conditions of ske wgroup ring and fixed ring to be(quasi-)Baer ring.By decomposing Morita Context ring we observed conditions of Morita Context ring formed of ske wgroup rings and fixed rings to be(quasi-)Baer ring.

Baer ring;quasi-Baer ring;Morita Context ring;ske wgroup ring;fixed ring;simple ring

O152.2

A

1004-4353(2011)03-0212-04

2011 -03 -26 作者简介:金海兰(1963—),女,理学博士,副教授,研究方向为代数学(环论).

吉林省教育厅“十一五”科学技术研究资助项目(吉教科合字[2010]第272号)

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