用径向基函数解偏微分方程

张颖超

（广西师范大学数学科学学院，中国桂林 541004）

用径向基函数解偏微分方程

张颖超*

（广西师范大学数学科学学院，中国桂林 541004）

讨论了用正定径向基函数解偏微分方程，通过一个数值算例，说明这个方法是可行的．针对数值算例，比较了在相同步长时，不同的正定径向基函数对微分方程数值解的精确程度，并比较不同的正定径向基函数在相同的形状参数时绝对误差的差异，说明微分方程数值解的精确程度与径向基函数形状参数的取值密切相关．同时也论证了在插值过程中所得到的矩阵方程解的存在唯一性．

径向基函数;数值解;偏微分方程;线性无关

一般地，许多物理现象和工程技术问题都可以归结为一个微分方程．微分方程的解析解可以通过分离变量法和积分变换法等方法得到．微分方程的数值逼近可以通过Euler法，Runge-Kutta法和数值积分等方法得到［1-2］．近几十年来，人们的主要目标是寻找各种各样的无网格方法，利用径向基函数（RBF）解微分方程是受到普遍关注的无网格方法．1971年，Hardy［3］总结评论了关于multiquadric（MQ）函数的各种应用，特别是在地理，遥感，信号系统等方面的成功应用．自从Kansa［4-5］用径向基函数解偏微分方程（PDE），得到非常精确的解后，用径向基函数解偏微分方程引起越来越多的关注，并且Madych和Nelson［3，6-7］证实了MQ函数插值的收敛性．

近10年来，用径向基函数配置法解偏微分方程受到广泛关注，人们已经用径向基函数配置法解线性和非线性的偏微分方……