关于2个互质整数平方和的研究及其应用

李永，顾志华

（1.河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002；2.河北农业大学 理学院，河北 保定 071001）

关于2个互质整数平方和的研究及其应用

李永1，顾志华2

（1.河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002；2.河北农业大学 理学院，河北 保定 071001）

利用无穷下降法和同余式理论，证明了2个互质的整数平方和的任意因数必然也可以表示成为2个整数的平方和，并利用这个结论推论出了Fermat平方定理.

整除；互质；同余式；Fermat平方定理

MSC 2010：11Y11

数论是一门古老，然而又是常新的学科，是数学最基础学科的一个重要分支.数论问题解决过程所应用的方法和思想，是所有数学方法和思想的一个重要理论源泉.

无穷下降法是数论中一个重要的解题方法，首先是由法国著名数学家Pierre发明，并使用这种方法证明了边长为整数的直角三角形其面积不可能是一个整数的平方，它在解决许多数论问题中都起到了重要作用.法国数学家、物理学家Lagrange使用无穷下降法证明了四平方定理，瑞士数学家和物理学家Leonhard也曾使用无穷下降法对Fermat大定理做出分析.

1 整数的整除性及同余

定义1m，n是整数，如果n是m的整数倍，则称m整除n，表示为m│n.

定义2对于整数m，n及r如果r│m，r│n则称r是m，n的公约数.m，n的最大公约数表示为（m，n）.如果（m，n）＝1则称m和n是互质的.

定理1 （m，n）＝1的充分必要条件是存在整数x，y使得xm＋yn＝1.

定理2 如果整数m，n，r满足（m，r）＝1，并且r│mn，则r│n.

定理3 如果（a，b）＝1，则（a2，b2）＝1.

以上3个定理的证明参看文献［3］.

定义3a，b，m是整数，如果m│（a-b）则称a，b对模m同余，表示为a≡b（modm）.同余式显然具有如下性质

性质1a≡a（modm）（反身性）.

性质……