澳大利亚昆士兰地区地形地质图的数学基础探讨

马秋斌，刘海英，翟 辉

(江苏省地质调查研究院，江苏 南京 210018)

澳大利亚昆士兰地区地形地质图的数学基础探讨

马秋斌，刘海英，翟 辉

(江苏省地质调查研究院，江苏 南京 210018)

通过WGS-84坐标系、通用横轴墨卡托投影原理和实际应用的介绍，对澳大利亚昆士兰地区地形地质图的数学基础进行初步探讨，掌握利用MapGIS制作外国地形地质图的过程和方法，为拓展地质找矿空间打下基础。

地图数学基础;WGS-84坐标系;通用横轴墨卡托投影(UTM);MapGIS制图;澳大利亚昆士兰

0 引言

地图数学基础是为控制地图地理要素分布位置和几何精度，由一定数学法则构成的基础。包括坐标网、比例尺和大地控制网。

坐标网，即控制制图资料转绘精度和方便用图的格网，以在地图上确定点位、方向和距离。有地理坐标网和直角坐标网两种。地理坐标网是按照一定的地图投影方法，将地球椭球面上的经线和纬线描绘在平面上，所构成的有一定变形规律的经纬线网，它依一定的经纬度间隔绘出，并注明经纬度数值，用于确定点位的地理坐标，故又称制图网。直角坐标网一般是垂直和平行于某种投影的中央经线的方格线网，注有千米数，用于确定点位的平面直角坐标，故也叫千米网。

比例尺，即地图上的线段长度与实地相应线段长度之比。它表示地图图形的缩小程度。如1∶10万，即图上1cm长度相当于实地1 000m。严格地讲，只有在表示小范围的大比例尺地图上，由于不考虑地球的曲率，全图比例尺才是一致的。对于一般的地图，因投影所产生的变形，各处比例尺并不完全一致。通常绘注在地图上的比例尺，称为主比例尺。主比例尺是进行地图投影时地球椭球体缩小的比例。在地图上，只有某些线或点符合主比例尺，其他各处的比例尺均大于或小于主比例尺。比例尺与地图内容的详细程度和精度有关。

大地控制网，是平面控制网和高程控制网的总称，又称大地网。平面控制网一般指三角网和精密导线网。它采用三角测量或精密导线测量方法建立，并配合进行天文测量和重力测量，将观测结果归算到参考椭球面上，计算各三角点或精密导线点(简称大地点)的大地坐标，作为平面位置的基本控制。大地点的大地坐标通过投影换算成平面直角坐标，可以直接控制测图。高程控制网指水准网和三角高程网，它用水准测量方法建立，测定各水准点距大地水准面的高程，作为高程的基本控制。所以，大地控制网能保证将地球的自然表面转移到参考椭球面上，并使地图上的地理要素对于坐标网具有正确的位置。

1 概况

中国地质调查局委托江苏省地质调查研究院在澳大利亚昆士兰州北领地工作区进行1∶5万铁铜矿野外地质调查。该地区的地形彩图的正下方标注的说明之中文大致意思是：所有的经纬度均标注在图框角落上，分位于边短线上，每隔5'标注。黑色千米网格是基于通用横轴墨卡托(UTM)投影参数以及WGS-84、53投影带椭球参数投影而成。蓝色千米网格线与黑色千米网格线基本相同。WGS-84和UTM与澳大利亚1994地球测量数据(GDA94)以及澳大利亚1994地图网格(MGA94)是一致的。该图的垂直数据为澳大利亚高程数据库，水平数据为WGS-84和横轴墨卡托(UTM)。等高距为10m。海拔单位为米。

2 WGS-84坐标系

WGS-84坐标系，国际上通用的地心坐标系。坐标原点为地球质心，其地心空间直角坐标系的Z轴指向BIH(国际时间)1984．0定义的协议地球极(CTP)方向，X轴指向BIH 1984．0的零子午面和CTP赤道的交点，Y轴与Z轴、X轴垂直构成右手坐标系，称为1984年世界大地坐标系统。WGS-84采用的椭球是国际大地测量与地球物理联合会第17届大会大地测量常数推荐值：

长半径 a=6 378 137m，短半径 b=6 356 752．314m，扁率 α =1/298．257 223 563，地球引力常数GM=3 986 005×108m3/s2±0．6×108m3/s2;正常化二阶带谐系数C20= －484．166 85 ×10－6±1．3×10－9;J2=108 263 ×10－8;地球自转角速度ω =7 292 115 ×10－11rad/s±0．150 ×10－11rad/s。

图1 测站坐标与地心空间直角坐标系关联图

3 通用横轴墨卡托投影及变形分析和实际应用

通用横轴墨卡托投影是一种“等角横轴割圆柱投影”，椭圆柱割地球于南纬80°、北纬84°两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形，而中央经线上长度比0．999 6。与高斯－克吕格投影相似，该投影角度没有变形，中央经线为直线，且为投影的对称轴，中央经线的比例因子取0．999 6是为了保证离中央经线左右约180km(约±1°40')处有两条不失真的标准经线。

图2 通用横轴墨卡托投影原理图

高斯－克吕格投影从0°子午线起每隔6°自西向东分为60个带，UTM投影分带方法与高斯－克吕格投影相似，将北纬84°—南纬80°之间按经度分为60个带，每带6°，从西经180°和174°之间为起始带且连续向东计算，带号1，2，3，……60，连续编号。因此，UTM投影53投影带相当于高斯－克吕格投影23投影带(图3)。

下面讨论通用横轴墨卡托投影所产生的变形误差。首先介绍几个基本概念：地球椭球体的长半径a、短半径b、扁率α、第一偏心率e和第二偏心率e＇，子午圈曲率半卯酉圈曲率半径 N=，长度比μ为地面上微分线段投影后长度与它固有长度之比值，长度变形υ为长度比μ与1之差值。

根据通用横轴墨卡托投影原理知道某点P(纬度φ、经度λ)的直角坐标(纵向x、横向y)公式：

图3 UTM投影分带及本工作区简略位置图

式(1)、(2)、(3)中，s是由赤道到纬度φ的经线弧长，η2=e'2cos2φ，λ 化为弧度，ρ〃=206 264．81。

由上式可见：(1) 当 λ =0°时，μ =0．999 6，即中央经线长度变形为－0．000 40。

(2)当φ=0°时，λ=3°处的最大长度变形小于 +0．001。

(3)在赤道上离中央经线大约180km(约±1°40')位置的两条割线上没有任何变形，离这两条割线愈远则变形愈大，最大值位于投影带的边缘。

(4)在两条割线以内长度变形为负值，在两条割线以外长度变形为正值。

(5)本投影属于等角性质，故没有角度变形，面积比为长度比的平方。

通用横轴墨卡托投影的长度变形值如表1。

通用横轴墨卡托投影实际应用时的直角坐标公式为：

表1 通用横轴墨卡托投影的长度变形值

4 利用MapGIS生成梯形图框

打开MapGIS投影变换系统，选择任意梯形绘制投影网模板(武汉中地数码公司，2008)，得到如下截图(图4、图5)。

图4 任意梯形绘制投影网模板截图

图5 投影参数模板截图

由于本次调查区属于南半球的澳大利亚，采用高斯－克吕格23投影带，中央经线为135°，故在生成图框时4个图角的纬度采用负值，经度采用原值，4个图角的经纬度如表2。

将表2中4个图角点的实用经纬度值分别输入最小起始经纬度和最大结束经纬度对话框中(图4)打开【投影参数】对话框，分别选择或输入坐标系类型：投影平面直角;椭球参数：WGS-84;投影类型：通用横轴墨卡托投影坐标系(UTM);比例尺分母：50 000，投影带类型：6°带;投影带序号：23;平移Y：2 000 000(图5)，确定以后就生成本调查区范围的标准梯形图框的MapGIS格式的点、线、面文件。

表2 4个图角经纬度

注意两点事项：(1)通用横轴墨卡托投影坐标系的X、Y轴正好对应MapGIS坐标系的Y、X轴，通用横轴墨卡托投影坐标系的纵向为X，而MapGIS坐标系的纵向为Y。(2)通用横轴墨卡托投影坐标系的坐标单位为米，而MapGIS坐标系的坐标单位为毫米，南半球纵向坐标向南平移1万km，对应1∶5万比例尺的MapGIS坐标系的纵向坐标平移Y为20万mm;而MapGIS坐标系的横向坐标向西平移的值，MapGIS软件系统已经考虑，因此，MapGIS坐标平移X值为0。

5 地形地质彩图的数字化录入和误差校正

将本调查区所在图幅的地形彩图进行彩色扫描，确保选择高精度、清晰、最佳的TIF文件。依照地图编制原则，在MapGIS平台上，对地理要素按水系－居民地－道路－地貌－境界的顺序逐层进行数字化编辑录入，对地质要素按第四系(新地层)－断层－脉岩－老地层(第四系除外)－侵入岩体的顺序逐层进行数字化编辑录入，(DZ/T 0157—95)，各项检查无误后，即可进行误差校正。

图形误差校正：利用上述MapGIS软件生成的标准梯形图框，通过采集地形彩图上的所有控制校正点，利用MapGIS系统的误差校正功能进行全点校正，使数字化后的图形配准到标准图框中。

打开MapGIS图形编辑系统，以梯形图框文件加以引导，建立工程文件，对图形数据进行必要处理，建立点、线、面的拓扑关系，对水系和地质界线所建立的具有拓扑关系的综合地质区文件检查无误后，对照地质标准色表进行换色，按地质图的标准格式和要求进行必要的图面整饰。这样，一幅完整的地形地质图就形成了。

6 澳大利亚昆士兰地区地形地质图的数学基础应用利弊

通过上面的理论介绍和实践操作，在澳大利亚昆士兰低纬度(南纬16°左右)地区，采用国际上通用的WGS-84坐标系所确定的地球椭球参数，利用通用横轴墨卡托投影方法，将地表转移到参考椭球面上，并使地图上的地形地质要素对于坐标网具有相对正确的位置是适宜的。本投影带中央经线为135°，距中央经线两侧(约 ±1°40')有 2条标准经线，长度变形可以配赋均衡些，长度变形绝对值较小，本幅图自东向西长度变形逐渐变大，面积变形相随之;由于是等角投影，因此，任意两点间的方位角绝对正确，没有任何变形。WGS-84坐标系是地心的、三维的，它支持现代测量技术和卫星导航等空间技术的应用，便于野外地质调查工作者利用GPS进行定位作业;与2000中国大地坐标系(CGCS 2000)是相容的，精度范围一致，全球统一的大地坐标系是一种趋势。

7 结语

通过对澳大利亚昆士兰地区地形地质图的数学基础的探讨，了解外国地形地质图的制作过程和方法，作为一种范例，对于走出国门，拓展地质找矿空间，具有重要的战略意义。

《地图制图学》丛书编写组．1981．地图编制学［M］．武汉：中国地质大学出版社．

DZ/T 0157—95，1∶50 000地质图地理底图编绘规范［S］．

胡毓钜，龚剑文，黄伟．1980．地图投影［M］．北京：测绘出版社．

谯章明．1982．地质图绘制［M］．北京：原子能出版社．

武汉中地数码公司．2008．MapGIS地理信息系统使用手册［R］．

Discussions on mathematical base of topographic geologic maps in Queensland，Australia

MA Qiu-bin，LIU Hai-ying，ZHAI Hui

(Geological Survey of Jiangsu Province，Nanjing 210018，China)

The authors made preliminary studies on mathematical base of Australian Queensland topographic and geologic map by introducing the principles and practical applications of World Geodetic System 1984 coordinate system(WGS-84)，Universal Transverse Mercartor Projection(UTM) ，which made the authors master the process and methods of mapping foreign country＇s topographic and geologic maps with MapGIS mapping software，established a basis on expanding the space to geological prospecting．

Mathematical base of map;World Geodetic System-1984(WGS-84);Universal Transverse Mercartor Projection(UTM);MapGIS mapping;Queensland，Australia

P228．2

A

1674－3636(2011)04－0386－05

10．3969/j．issn．1674-3636．2011．04．386

2011－07－01;

2011－07－21;编辑：侯鹏飞

马秋斌(1962—)，男，工程师，主要从事地质测绘工作，E-mail：mqb6208@sina．com