整环上广义逆的刻画

朱光艳

(湖北民族学院 预科教育学院，湖北 恩施 445000)

1 引言及引理

设R表示整环；Rm×n表示R上的m×n矩阵集；ρ(A)表示矩阵A的秩；R(A)和N(A)分别表示A的值域和零空间，规定Moore-Penros逆定义中的对合即是恒等.若无特别说明下面考虑的都是R上的矩阵

引理2[2]对于整环R，下列条件等价：

i)R射影自由；

2 主要结果

GAX=0,XGA=0,X2=X,ρ(X)=n-s

(1)

存在唯一的m×m矩阵Y使得：

YAG=0,AGY=0,Y2=Y,ρ(Y)=m-s

(2)

存在唯一的n×m矩阵Z使得：

(3)

(4)

(5)

定理2 设A为射影自由的整环上的m×n矩阵，ρ(A)=r且A是幂等矩阵，若A+存在，则存在惟一的n×n矩阵X使得：

AX=0,X*=X,X2=X,ρ(X)=n-r

(6)

存在唯一的m×m矩阵Y使得：

YA=0,Y*=Y,Y2=Y,ρ(Y)=m-r

(7)

存在唯一的n×m矩阵Z使得：

(8)

其中Z即为A的Moore-Penrose逆A+, 且X=I-A+A,Y=I-AA+.

定理3 设R为射影自由的整环，A∈Rn×n,其中Ind(A)=k，ρ(Ak)=r且Ak是幂等的，若A的Drazin逆AD存在，则存在唯一的矩阵X使得:

AkX=0,XAk=0,X2=X,ρ(X)=n-r

(9)

存在唯一的矩阵Z使得:

(10)

其中矩阵Z即为A的Drazin逆AD，且:

X=I-ADA=I-AAD

(11)

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