Arzela-Ascoli定理条件的改变和减弱

张亚林

（天津大学 理学院，天津 300072）

Arzela-Ascoli定理条件的改变和减弱

张亚林

（天津大学 理学院，天津 300072）

文章将Arzela-Ascoli定理中的闭区间［α，β］上的连续函数族扩展到无穷紧空间上的连续算子族，给出了无穷紧空间上的连续算子族相对紧性判断的一个充要条件；然后将定理中一致有界减弱为在一点有界，定理的结论仍然成立.

Arzela-Ascoli定理；相对紧；等度连续；一致有界

0 引言

Ascol-Arzelai定理对出了有限闭区间上连续函数族相对紧性判定的一个充要条件，其应用非常广泛，但局限于有限区间.对于这一结果，已经有很多推广，在文［1］中将闭区间［α，β］推广到紧空间K，指出C（K）的子集F是相对紧的当且仅当F等度连续且一致有界；文［2］也对Ascoli-Arzela定理进行了一定程度上的推广.但是这些推广都是在实值范围内进行的，本文将实值连续函数推广到向量值连续算子，即假设E为紧度量空间，X为Banach空间，C（E，X）表示从E到X的连续函数的全体，给出了C（E，X）上任一子集相对紧的充要条件，大大扩展了应用范围.另外，定理中的一致有界条件很强，如果能减弱为在一点有界的话，定理的适用范围将进一步扩大.

1 预备知识

定义1［3］设（X，ρ）是距离空间，A是X的子集，如果A中的任何点列必有在X中的收敛子列，则称A为紧集.

定义2［3］设（X，ρ）是距离空间，A是X的一个子集，B⊆A，如果有ε＞0，使得以B中各点为中心，以ε为半径的开球全体覆盖A，即A⊆U x∈BO（x，ε），则称B是A的ε网.如果B是有限集，则称B是A的有限ε网.

定义3［3］设（X，ρ）是距离空间，A是B的子集，如果对于任意ε＞0，都存在着A的一个有限ε网，则称集合A是完全有界的.