P-内射的WB-环

李艳午，储茂权，程海霞，3

(1.芜湖信息技术职业学院，安徽芜湖 241000;2.安徽师范大学数学与计算机科学学院，安徽芜湖 241000; 3.南京大学数学系，江苏南京 210093)

0 引言

设R是环，M为右R-模，如果每个主右理想aR到M的右R-同态能够扩张成RR到M的同态，那么，称模M为右P-内射模;如果RR是右P-内射模，则称环R为右P-内射环［1］.内射性是关于环的一个很重要的性质，许多研究人员都对其做了深入而广泛的研究，取得了许多结果［1，2］.

环R称为正则环，是指对任意的a∈R，存在，b∈R，使得，a=aba.正则环的研究一直吸引着研究人员的兴趣，并取得了一些结果［3］.近年来，又有研究人员研究了正则环上的模比较结构，例如，陈焕垠［4］研究了正则的WB-环，得到了这种环上的部分比较结构.受此启发，本文研究了P-内射的WB-环，推广了文献［4］的部分结果，同时也使文献［1，2］的部分结果得到拓展和延伸.

1 预备知识

本文中的环R都是有单位元的结合环，称环R的理想I，J是正交的.如果，IJ=JI=0，设M和N为右R-模，M＜⊕N表示M同构于N的子模.设I是环R的理想，称a∈R是模I右(左)可逆，如果存在u∈R，使得，

2 主要结果及证明

定理1 设R是非奇异的P-内射环，并且满足特殊左零化子的升链条件，则下列条件等价:

(1)R是WB-环;

(2)对任何a∈R，有正交理想I，J，使得，a=aua =ava，这里u∈R模I右可逆，v∈R模J左可逆.

证明 (1)⇒(2).

由于R是非奇异的P-内射环，所以存在一个环R的理想L，且L≠0，使得，l(a)⊕L是R的本质左理想［5］.令b∈L，且b≠0.如果r1，r2∈R，且使得，r1ba=r2ba，那么，(r1b-r2b)a=0，r1b-r2b∈l(a)∩L，考虑到，l(a)∩L=0，由此可推出，r1b=r2b.于是，我们可以定义，f:Rba→R，rba|→rb.易见，f是左R-同态.又因为R是P-内射的，从而存在x∈R，使得，rb=f(rba)=rbax1，对所有r∈R.特别地，对r=1，可得到，b=bax1，等式两边右乘a，又得到……