保E增序完全变换的变量半群上的格林*关系

贾明斌，赵大亮

(1.山东职业学院基础部，山东济南 250104;2.山东师范大学数学科学学院，山东济南 250014)

1 预备知识

X表示全序集，设TX为X上的完全变换半群，f∈TX，若对任意的x∈X，都有f(x)≥x，则称，f为增序完全变换.X上的所有的增序完全变换关于完全变换的复合做成一个半群，记为T+(X).设E为X上的等价关系，f∈TX，若(x，y∈X)(x，y)⇒(f(x)，f(y))∈E，则称，f为保E的完全变换.X上的所有保E的完全变换构成 TX的一个子半群，记为TE(X).令，

则，T+E(X)为TE(X)的子半群.

设θ∈T+E(X)，在集合T+E(X)上定义运算如下，

此外，fθg为通常完全变换的复合，则在此新定义的运算下得到一个新的半群，称其为保E增序完全变换的变量半群，将其记为，T+E(X;θ).类似定义，TE(X;θ)，FE(X;θ).显然，TE(X;θ)和FE(X;θ)都为T+E(X;θ)的扩半群.在本研究中，我们将讨论T+E(X;θ)上的格林*关系的刻画.

用π(f)表示由X上的完全变换f所诱导的X上的一种分化，即，

定义，f*:π(f)→f(X)如下，f*(F)=f(F)，F∈π(f).显然，f*为双射.对X上的任子集A⊆X，记，

设f∈T+(X)，则有，f∈T+E(X)，当且仅当对任意B∈X/E存在B′∈X/E，使得，f(B)⊆B′.因此，若f∈T+E(X)，则对任意的A∈X/E，f-1(A)要么为一些E-类的并，要么为空集.对任意f∈T+E(X)记，

显然，E(f)也是X的一种分化，由π(f)，E(f)的定义知，对任意的M∈π(f)都包含在某个U∈E(f)中，即π(f)细化E(f).

设E为X上的等价关系，Y，Z为X的子集，f:Y→Z为一映射.若对(x，y)∈E，都有，(f(x)，f(y))∈E，则f称为保E的.若，(x，y)∈E，当且仅当(f(x)，f(y))∈E，则f称为保E*的.显然，f为保E的未必是保E*的.

2 T+E(X;θ)上的格林*关系

定理1 设f，g∈T+E(X;θ)，f≠g，则以下结论等价:

(iii)存在一个保E*双射，＞:f(X)→g(X)，使g=＞f，而且θ|f(x)和θ|g(x)为保E*的单射.

证明 (i)⇒(ii).

设(f，g)∈L*，则在T+E(X;θ)的扩半群中存在h，k，使f=k◦g=kθg，g=h◦f=hθf.由此及f，g∈T+E(X;θ)知，h，k∈TE(X;θ).由f=kθg知，π(g)细化π(f)，由g=hθf知，π(f)细化π(g).所以，π(f)=π(g).

又，f=(kθ)(hθ)f，所以，θ|f(x)是单射，进而有，π(θf)=π(f).类似地，θ|g(x)是单射，所以，π(θg)=π(g).从而有，

下面证明，

取U∈E(f)，则存在A，B，C∈X/E，使，

从而有，

所以，

从而可得，E(f)细化E(g).类似地，E(g)细化E(f)，故，E(f)=E(g).

显然，E(f)细化E(θf).下设，V∈E(θf)，则存在A′，B′∈X/E，使

所……