一类分数阶耦合系统多点边值共振问题解的存在性

张 宁，张 娣，史小艺

(1.中国矿业大学理学院，江苏徐州 221116;2.中国矿业大学管理学院，江苏徐州 221116)

0 引言

近些年来，分数阶导数及分数阶微分方程在科学、工程和数学等领域得到了重要应用.在分数阶微分方程边值问题研究上，科研人员获得了不少研究成果［1-9］.值得注意的是，分数阶耦合系统多点边值共振问题作为分数阶非局部边值问题的一种特殊情况，近年来得到许多研究人员的重视，一些学者运用Mawhin的连续性定理来研究多点边值问题，如文献［4］就研究了耦合系统的3点边值共振问题，

其中，1＜α，β≤2，0＜η1，η2＜1，σ1，σ2＞0，σ1ηα-11=σ2ηβ-12=1，f，g:［0，1］×R2→R连续，Dα0+是标准Riemann-Liouville分数阶导数.

受其启发，本文研究分数阶非线性微分方程耦合系统多点边值共振问题，

其中，n＞2是自然数，n-1＜α，β≤n，0＜η1，η2＜1，0＜δ1＜…＜δm＜1，0＜σ1＜…＜σm＜1，αi，βi∈R，Dα0+和Iα0+分别是标准Riemann-Liouville分数阶导数和积分，f，g:［0，1］×Rn→R满足Caratheodory条件，e(t)∈L1［0，1］.令，

1 预备知识

设Y，Z是实Banach空间，L:domL⊂Y→Z是一个指标为零的Fredholm算子，P:Y→Y，Q:Z→Z，是连续投影算子且满足ImP=Kerl，KerQ=ImL，Y= KerL⊕KerP，Z=ImL⊕ImQ.则映射，L|domL∩KerP: domL∩KerP→ImL，是可逆的，记这个映射的逆映射为KP，令N:Y→Z是一个映射，Ω是Y的一个有界开集且满足，domL∩Ω=＞，如果QN(Ω—)有界，KP(I-Q)N:Ω—→Y是紧的，则称N是L-紧的，设J: ImQ→KerL是一个线性同构.

定义1［1］函数y:(0，+∞)→R的α阶Riemann-Liouville分数阶积分为，

其中，α＞0，Γ(·)为Gamma函数.

定义2［1］连续函数y:(0，+∞)→R的α阶Riemann-Liouville分数阶导数为，

其中，α＞0，Γ(·)为Gamma函数，n=［α］+1.

其中，N为大于或等于α的最小整数.

其中，x∈C［0，1］，ci∈R，i=1，2，…，N-1，其范数为，

易证得，Cμ［0，1］是Banach空间.

引理2［2］f⊂Cμ［0，1］是连续紧，当且仅当f一致有界且等度连续.

这里的一致有界是指存在M＞0，使得对任意u∈f有，

等度连续是只对∀ε＞0，∃δ＞0，使得，

且，

定理1［5］设Ω⊂Y是一个有界开集，L是一个指标为零的Fredholm算子，N是L-紧的，如果下面条件成立，

(1)Lx≠λNx，∀(x，λ)∈［domLKerL∩∂Ω］×［0，1］;

(2)Nx∉ImL，∀x∈Ker∩∂Ω;

(3)deg(JQN|KerL，KerL∩Ω，0)≠0，则方程，Lx =Nx，在domL∩Ω—中至少有一个解.

2 主要结果

令Z=L1［0，1］，范数为……