对一道竞赛题的探讨

瞿永明 黄尚鹏

(监利县朱河中学 湖北 荆州 433325)

题目：(2006年第23届全国中学生物理竞赛复赛第5题)磁悬浮列车是一种高速运载工具．它具有两个重要系统：一是悬浮系统，利用磁力(可由超导电磁铁提供)使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触；另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组(线圈)中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力．

为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题.

设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B随时间t和空间位置x变化规律为

B(x,t)=B0cos(ωt-kx)

式中B0，ω，k均为已知常量，坐标轴x与轨道平行．在任一时刻t，轨道平面上磁场沿x方向的分布是不均匀的，如图1所示．图中xOy平面代表轨道平面，“×”表示磁场的方向垂直xOy平面指向纸里，“·”表示磁场的方向垂直xOy平面指向纸外，规定指向纸外时B取正值．“×”和“·”的疏密程度表示沿着x轴B的大小分布．一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边MN的长度为l，与轨道平行的金属框边NP的长度为d，金属框的电阻为R，不计金属框的电感．

(2)试讨论安培力的大小与线框几何尺寸的关系．

图1

分析：题给的磁场B(x,t)随时间和空间的变化具有周期性，在某时刻t，磁场的空间分布为

B(x,t)=B0cos(ωt-kx)

在t+Δt时刻，磁场的空间分布为

B(x,t+Δt)=B0cos[ω(t+Δt)-kx]=

平移速度v0为恒量．

由此可见，题给出的磁场

B(x,t)=B0cos(ωt-kx)

可视为一在空间按余弦规……