例析微元法在变加速运动中的应用

吴正飞

(江苏省如东高级中学 江苏 南通 226400)

微元法是物理教学中的一种重要的思想方法，自2007年以来，微元法的考查在各地高考中年年出现，尤其是江苏高考连续三年在压轴题中涉及.我们发现微分的思想方法已被纳入高中的教学范围,例如，课本中就有两个地方重点提出，一是分析匀变速直线运动的位移时，根据v-t图像，把时间t内发生的位移进行微元分析，可以推导出匀变速直线运动的位移公式；二是分析匀速圆周运动的向心加速度时，根据加速度的定义，对圆周运动的速度的变化进行微元分析，可以推导向心加速度的表达式.因此，该方法在高考试题中频繁出现就不足为奇了，但是每年学生在这类问题中的得分率都很低，原因在于学生没有真正深刻领悟到微元法的精髓，以及它的使用方法和使用技巧.

微元法是一种利用微分思想的分析方法.具体而言就是将研究对象或物理过程进行无限细分(化变为恒、化曲为直、化整为零)，从其中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象或被研究过程变化规律的一种思想方法. 该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速加以解决，使所求问题简单化.

利用微元法解题一般分为三步.

第一步,选择恰当的微元(如空间元、时间元)作为突破整体研究的对象.微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……但应具有整体对象的基本特征.第二步,将微元模型化(如视作点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动……)并运用相关物理规律，求解这个微元.第三步,将一个微元的求解结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的关系(如对称关系、矢量方向关系、量值关系等)，对各微元的解出结果进行叠加，以求出整体量的合理结果.下面就通过实例分析微元法在求解变加速运动中的各种物理量的使用方法.

1 利用微元法求解变加速运动中的速度

在电磁感应与力学结合的问题中，由于受安培力作用，导体棒的速度发生变化，而速度又会改变安培力，从而使得导体棒做变加速运动.此时，力学的常规方法很难解决，若考虑到微元法，再结合力学知识则可迎刃而解.

【例1】如图1所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2．两根质量均为m,有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直(设重力加速度为g)．

图1

(1)若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能ΔEk；

(2)若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b又恰好进入第2个磁场区域．且a,b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等．求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q；

(3)对于第2问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v．

解析： (1)ΔEk=mgd1sinθ;

(2)Q=mg(d1+d2)sinθ;

(3)设导体棒在无磁场区域和有磁场区域的运动时间都为t，在无磁场区域有

v2-v1=gtsinθ

(1)

且平均速度

(2)

在有磁场区域，对a棒

F=mgsinθ-BIl

且

解得

(3)

因为速度v是变量，用微元法根据牛顿第二定律, 在一段很短的时间Δt内

则有

因为导体棒刚进入磁场区时的速度为v2,刚离开磁场区时的速度为v1, 所以

∑Δv=v1-v2∑vΔt=d1∑Δt=t

因此

(4)

联立式(1)～(3),得

a,b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等, 所以，a穿出任一个磁场区域时的速率v就等于v1．因此

2 利用微元法求解变加速运动中的位移

在力学中，常遇到物体受变力作用的情形，因为牛顿定律和运动学公式无法使用，所以，大部分学生就束手无策.其实我们可以拓宽思维，在变化中找不变，即可以化整为零，此时可能就会豁然开朗，发现其中的特殊规律，从而找到解题的突破口.

【例2】从地面上以初速度v0竖直向上抛出质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，球运动的速率随时间变化规律如图2所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动.求：

(1)球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功;

(2)球抛出瞬间的加速度大小;

(3)球上升的最大高度.

图2

解析：

(3)设上升至速度为v时加速度为a，则

取极短时间Δt，其速度变化为Δv，有

又因为

vΔt=Δh

对上升全过程有

即

解得

3 利用微元法求解变加速运动中的电量和能量

在中学物理解题中，求解电荷量和能量往往是学生的弱点，尤其在力、电结合的综合类问题中，再遇到变加速运动时就会难上加难.这时对学生的综合分析的能力要求就很高，但是如果能掌握合理的解题方法则会简单很多.微元法就是解决这类问题的理想方法.

【例3】如图3所示，很长的光滑磁棒竖直固定在水平面上，在它的侧面有均匀向外的辐射状的磁场.磁棒外套有一个质量均匀的圆形线圈，质量为m，半径为R，电阻为r，线圈所在磁场处的磁感应强度为B.让线圈从磁棒上端由静止释放沿磁棒下落，经一段时间与水平面相碰并反弹，线圈反弹速度减小到零后又沿磁棒下落，这样，线圈会不断地与水平面相碰下去，直到停留在水平面上.已知第一次碰后反弹上升的时间为t1，下落的时间为t2，重力加速度为g，不计碰撞过程中能量损失和线圈中电流磁场的影响.求：

(1)线圈第一次下落过程中的最大速度vm;

(2)第一次与水平面碰后上升到最高点的过程中通过线圈某一截面的电荷量q;

(3)线圈从第一次到第二次与水平面相碰的过程中产生的焦耳热Q.

图3

解析：

(2)反弹后上升的过程中某一时刻，由牛顿运动定律得

mg+BI2πR=ma

在一段微小时间Δt内，速度增量为Δv=aΔt，通过线圈截面电荷量为Δq=IΔt,则

(3)反弹后上升的过程中某一时刻，由牛顿运动定律得

在一段微小时间Δt内，速度增量为Δv=aΔt，线圈上升高度为Δh=vΔt，则线圈可上升的最大高度h为

线圈到达最高点后，下落过程中的某一时刻，由牛顿运动定律得

在一段微小时间Δt内，速度增量为Δv=aΔt，线圈下降高度为Δh=vΔt，则线圈第二次下降到水平面时的速度为v

此过程的线圈中产生的热量为线圈动能的损失

化简得

从上述实例可以发现，在处理变加速运动问题时，常常遇到运动过程中求解时间、速度、位移、电荷量、能量等问题，用常规方法很难解决，但灵活运用微元的思想，这些问题都可以迎刃而解.因此，微元法为高中物理的学习提供了更好的数学工具，使得高中物理不仅可以从研究方法上得到提升，也使得学生利用数学方法处理物理问题的能力得到提高.所以，教师在物理教学中，应逐步渗透微元思想并加强训练.实践证明，经过悉心培养，大部分学生都能够做到微元法思想的创新与拓展转移.只有师生共同努力才能将微元法真正应用到物理学中.