巧用椭圆轨道推导引力势能公式

吴好

(江苏省镇江中学 江苏 镇江 212017)

引力势能公式的推导在物理思想上通常是利用引力做功等于引力势能变化的负值得出．由于引力是变力，在计算引力做功时，在数学方法上通常是用积分运算．在高中将其作为拓展内容给学生介绍时，一般是将物体的位移分成许多小段，将每一小段的引力看成“恒力”，将每一小段“恒力”做的功求和得出引力做的总功，这在本质上还是积分运算．

能否用其他的方法推导出引力势能的公式呢？通过查阅大量的资料发现所有的书籍讲授的方法几乎都是积分法.直到有一次笔者在解题中，计算了卫星做椭圆轨道运动经过近地点和远地点的速度的数值，在此基础上做了进一步的思考，用椭圆轨道将卫星从低圆轨道送到高圆轨道的过程中，卫星在近地点和远地点的两次加速所增加的动能等于卫星在两个轨道之间的能量差，如果能够设法求出这个能量差，再设高圆轨道的半径为“无穷大”，就能得到卫星在圆轨道的能量，利用卫星的势能加上动能等于卫星的总能量就能够得出卫星的引力势能公式．

推导的思路是，先得出卫星以两个不同的半径做圆周运动的速度表达式，设法求出椭圆轨道长轴顶点的曲率圆半径，再根据引力提供向心力，给出卫星与这两个不同的圆轨道相切的椭圆轨道近地点和远地点的速度，求出两个圆轨道间的能量差，在此基础上推导出引力势能公式.

(1)

1 椭圆的相关数学知识

如图1所示，椭圆长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c，则

a2=b2+c2

(2)

图1

2 椭圆在半长轴和半短轴处的曲率圆半径

为求椭圆在长轴和短轴顶点处的曲率圆半径，我们将水平面的匀速圆周运动投影得到倾角为θ的斜面上 ，如图2所示．半径为b的圆，投影到斜面上得到的椭圆半长轴为a，半短轴为b，显然满足①

图2

解以上各式容易得出长轴顶点处的曲率圆半径为

(3)

短轴顶点处的曲率圆半径为

(4)

式(3)和式(4)与解析几何学中所得到的结果一致.实际上椭圆在长轴和短轴处的曲率圆半径只要求出一处，另一处的曲率圆半径可以将原来的长轴看成短轴，短轴看成长轴得出．

3 卫星在近地点 A和远地点B的速率

卫星做椭圆运动，此时地球中心为椭圆的一个焦点，如图3所示．卫星近地点距地心的距离为(a-c)，远地点距地心的距离为(a+c)；卫星在近地点的速度为vA，远地点的速度为vB，在近地点和远地点瞬时做圆周运动的半径(曲率圆半径)为ρ．卫星在A,B点瞬时做圆周运动的向心力由万有引力提供，可以得出

图3

在近地点A

(5)

在远地点B

(6)

将式(3)代入式(5)和式(6)得到

(7)

(8)

4 引力势能公式的推导

设人造卫星绕地球做圆周运动的轨道半径分别为r1和r2，如图4所示．将卫星从圆轨道“1”送到圆轨道“2”上，通过椭圆轨道在近地点“A”设法将卫星的速度由v1增加到vA，在远地点将卫星的速度由vB增加到v2．卫星总能量的增加就是两次动能的增加，设卫星在轨道“1”和“2”的机械能分别为E1和E2

图4

(9)

a-c=r1

(10)

a+c=r2

(11)

联立式(2)和式(7)～(11)得到

(12)

式(12)中若卫星做圆轨道的半径足够大，即r2→∞，并规定卫星距地球无穷远处能量为零，得到卫星在轨道1的能量为

(13)

(14)

也可以求出卫星做椭圆轨道的总能量为

(15)

联立式(1)、(2)、(7)、(10)、(13)、(15)得到

(16)

利用卫星做椭圆轨道运动的临界条件也可以推导出引力势能公式．

将式(3)改写成

(17)

卫星做椭圆轨道的临界条件是远地点趋于无穷远，即

a+c→∞

此时曲率圆半径为

ρ0=2(a-c)

将式(10)代入得到

ρ0=2r1

在图4中近地点发射人造卫星，设与“临界条件”对应的发射速度为v0，根据引力提供向心力得到

所以

(18)

从式(2)可以看出，当r2=a+c→∞时，卫星做圆轨道的速度为零，而由椭圆轨道远地点到圆轨道要加速，所以,此时卫星在远地点的速度为零，卫星在远地点的机械能为零，根据机械能守恒得到

将式(18)代入得到

由于r1可以是任意值，就得到了引力势能的一般表达式(14)．

5 结语

值得说明的是,本文作为推导引力势能的一种方法虽然不是从变力做功的关系得出，但仍然是通过功能关系得出的，因此,并不是发现了一种本质上完全不同的方法，但由于它只用到初等数学，同时又具有丰富的物理内容而显得非常有趣，对于学生正确运用曲率圆半径解决问题，加深对卫星做椭圆轨道运动的理解很有帮助．椭圆轨道一但给定，其能量关系就确定了，所以,可以根据椭圆轨道推导出引力势能公式．

再就文中的“ρ0=2r1”做出说明，卫星在椭圆轨道运行时，由于地心是其中的一个焦点，所以,卫星在近地点以不同的速度发射时，(a-c)即r1为定值，速度越大，(a+c)即r2越大，当a+c→∞时，不能简单地以为此时c=a，实际上c与a同时趋于无穷大，但(a-c)=r1为定值．

①

建立如图5所示的坐标系xOy以及x′O′y′，xOy平面内任意一点的坐标(x,y)投影到x′O′y′平面上的坐标为(x′,y′)，

满足

xOy平面内圆的方程为x2+y2=b2

图5

x′cosθ2+y′2=b2

所以，xOy平面内的圆在x′O′y′平面上的投影为半长轴为a，半短轴为b的椭圆．

图2中xOy平面内质点做匀速圆周运动平行于y轴的速度矢量v，在x′O′y′平面内的投影在长轴的顶点大小仍为

②

(1)详细的化简过程

将r1和r2以及式(10)和式(11)代入式(1)式得

再将v1和v2以及式(7)、(8)代入式(9)得

E2-E1=

将式(2)代入并利用式(10)和式(11)化简得

所以

代入上式得到