万有引力场与库仑场形式上相似性的研究

吴万进

(江苏省姜堰中学 江苏 姜堰 225500)

尽管万有引力与库仑力性质有很大区别，但质点间的万有引力和点电荷间的库仑力都遵循平方反比规律，万有引力与两质点质量的乘积成正比，库仑力与两点电荷的电荷量的乘积成正比，因此，在形式上具有一定的相似性，电荷的电量在库仑定律中的地位与引力质量在万有引力定律中的地位相当.另一方面，由于空间各向同性，使得万有引力和库仑力的方向沿两质点或静止点电荷的连线方向，具有球对称性.本文将从力、场和势三个方面对比这两种场的相似性.

1 万有引力和库仑力

设均匀薄球壳的半径为R，质量为M，质点(m)

图1

到球心的距离为r.一平面垂直于球心与质点的连线，截球壳与球心形成的圆锥顶角为θ.另一平面截球壳，圆锥顶角为θ+dθ，如图1.两平面截球壳得一“环带”，“环带”面积可表示成2πRsinθRdθ，若球壳的面密度为σ，则“环带”质量为2πσR2sinθdθ.由对称性可知，“环带”对质点的引力沿球心与质点连线，

其中

所以

令ξ=2rr-Rcosθ，则

(1)

1.1 均匀薄球壳对质点的引力与均匀带电薄球壳对点电荷的库仑力

(1)若r>R，即质点位于薄球壳外部，则由式(1)，有

(2)

也就是说，均匀(带电)薄球壳对球壳外质点(点电荷)的万有引力(库仑力)相当于质量(电荷量)集中在球心的质点(点电荷)对壳外质点(点电荷)的作用力.

(2)若r

(3)

即均匀薄球壳对其空腔内部位于任意位置的质点的万有引力为零.

同理，均匀带电薄球壳对球壳内任意位置的点电荷的库仑力也为零.

1.2 质量均匀分布(或球对称分布)的球体对质点的引力与电荷均匀分布(或球对称分布)的带电球体对点电荷的库仑力

(4)

同理，均匀带电球体(电荷量为Q0)对球外点电荷(电荷量为q)的库仑力为

(5)

图2

(6)

那么，相应地，电荷均匀分布的带电球对球内点电荷的库仑力

(7)

当r

表1 万有引力与库仑力对比

可见，质量(电荷量)均匀分布的球体对球内距球心r(r

可以证明，上述结论[式(4)～(7)]对质量(电荷量)球对称分布的球体(带电球体)也适用.

2 引力场和库仑场

2.1 引力场和库仑场

质点以及质量均匀(或球对称)分布的薄球壳或球体的万有引力场和点电荷以及电荷均匀(或球对称)分布的薄球壳或球体电场的方向都是沿均匀(带电)薄球壳或球体的径向，具有球对称性.引力场的方向沿径向向里，电场的方向沿径向向里(带负电)或向外(带正电).

表2 万有引力场与库仑场分布对比

由表2可见，均匀薄球壳的引力场与均匀带电的薄球壳的电场和均匀(或球对称)球体的引力场与均匀(或球对称)带电球体的电场都是相似的.

2.2 高斯定理和环路定理

类似地，引入“引力场线”和“引力场通量”，也有万有引力的“高斯定理”

取闭合曲面的外法向为正.

对任一环路，静电场有环路定理

引力场也有“环路定理”

以上比较表明,静电场和引力场都是有源无旋场.

3 引力势和电势

通常我们取无穷远处为引力势和电势的零点.那么，引力场(电场)中某点的引力势(电势)等于将单位质量(电荷量)的质点(正点电荷)从该点移送到无穷远处，引力(静电力)所做的功

3.1 均匀薄球壳的引力势和均匀带电薄球壳的电势

(1)均匀(带电)薄球壳或球体的外部(r>R)的引力场(电场)相当于相同质量(电荷量)位于球心处的质点(点电荷)的引力场(电场).

均匀薄球壳外部(r>R)的引力势

均匀带电薄球壳外部(r>R)的电势

(2)对于均匀(带电)薄球壳，因为球壳内部的场强为零，所以,从内部移送到球壳表面，引力场(电场)不做功，引力势(电势)就等于球壳表面的引力势(电势).

均匀薄球壳内部和表面(r≤R)的引力势

均匀带电薄球壳内部和表面(r≤R)的电势

3.2 均匀球体的引力势和均匀带电球体的电势

(1)均匀球体外部r>R的引力势

均匀带电球体外部r>R的电势

(2)均匀或球对称(带电)球体内部(r≤R)的引力势(电势)应考虑两个部分,即将单位引力质量(电荷量)的质点(正点电荷)从球体内部移送到球体表面万有引力(库仑力)的功和从球体表面移送到无穷远处万有引力(库仑力)的功.

因此，均匀或球对称球体内部的引力势

同理，均匀带电球体产生静电场的电势

均匀薄球壳与均匀带电薄球壳和均匀球体与均匀带电球体的引力势与电势的比较如表3.

表3 引力势与电势的比较

显然，均匀薄球壳与均匀带电薄球壳的引力势和电势，均匀球体与均匀带电球体的引力势和电势形式上都是非常相似的.

通过上面的比较，我们知道，万有引力与库仑力、万有引力场与库仑场、引力势与电势在形式上都具有很好的相似性.但是，万有引力与库仑力在本质上是不同的，前者是引力相互作用，而后者则属于电磁相互作用.此外，由于引力质量和电荷量也有重要区别(例如,质点间的作用只有吸引，而电荷间的作用有吸引，也有排斥)，使得万有引力与电场力也存在一些方面的差异，这里不再赘述.

参考文献

1 赵凯华,罗蔚茵.新概念物理教程(力学).北京：高等教育出版社，2004.338～345

2 程稼夫.中学奥林匹克物理教程(电磁学篇).合肥：中国科学技术大学出版社，2004.1～3