非自治广义Birkhoff系统的Poisson理论

龙梓轩，张 毅

（苏州科技学院a.数理学院；b.土木工程学院，江苏 苏州 215009）

分析力学的Poisson理论，包括定义Poisson括号、建立第一积分的Poisson条件、由已知积分导出新的积分等是研究动力学系统的一个重要数学工具.Birkhoff力学是Hamilton力学的推广［1］，Hamilton系统的Poisson理论可纳入Birkhoff系统.梅凤翔［2－3］曾研究了自治和半自治Birkhoff系统的代数结构和Poisson理论，尚玫等［4］给出广义Poisson条件以及由一个积分构造另一个积分的方法.1993年，梅凤翔［5］在Birkhoff方程的右端增加一个附加项，并称其为广义Birkhoff方程.因为通常的Birkhoff系统不容易构造，而广义Birkhoff方程的实现则较易，并且有更多的“自由度”，因此对广义Birkhoff系统动力学的研究具有重要意义.近年来，关于广义Birkhoff系统动力学的研究报道较多［6－12］.在本文中，笔者拟进一步探讨非自治广义Birkhoff系统的代数结构，建立该系统的Poisson定理，并将Poisson理论推广到非自治广义Birkhoff系统，讨论与非自治广义Birkhoff系统Poisson条件相关的动力学逆问题.

1 非自治广义Birkhoff系统的代数结构

广义Birkhoff系统的运动微分方程为［5］1460

其中B＝B（t，a）为Birkhoff函数，Rμ＝Rμ（t，a）为Birkhoff函数组，Λμ＝Λμ（t，a）为附加项.如果Birkhoff函数B，Birkhoff函数组Rμ（μ＝1，…，2n）以及附加项Λμ都显含t，则称为非自治的.

将方程（1）表示为如下形式：

令

则方程（2）可表示为逆变代数形式：

其中Sμν＝Ωμν＋Tμν.将某函数A（a）按方程（4）求对时间t的导数定义为一个积：

定理1 非自治广义Birkhoff系统的运动方程（1）具有相容代数结构.

由积（5）定义一个新积：

它具有反对称性 ［A，B］＋［B，A］＝0，并满足Jacobi恒等式［A，［B，C］］＋［B，［C，A］］＋［C，［A，B］］＝0，于是有如下定理.

定理2 非自治广义Birkhoff系统的运动方程（1）具有Lie容许代数结构.

2 非自治广义Birkhoff系统的Poisson理论

如果I（t，a）＝c是系统（4）的第一积分，则有