一类广义Stein方程的正定解

段雪峰， 王卿文， 常海霞

(1.桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林541004;2.上海大学理学院，上海200444; 3.上海金融学院应用数学系，上海201209)

矩阵方程的来源和应用相当广泛，包含于系统与控制理论、结构设计、参数识别及动态规划等许多科学与工程计算领域［1-5］，已成为数值代数研究中的热点问题之一.本工作研究矩阵方程

的正定解，其中A1，A2，…，Am均为n×n阶非奇异矩阵，Q为n×n阶正定矩阵，m为正整数.

矩阵方程(1)在m=1时就是著名的Stein方程，该方程在系统与控制理论中起着很重要的作用，许多学者对该方程进行了系统研究［1-2，5］.当m＞1时，称该方程为广义Stein方程，它来源于求解一类插值问题［6］，目前对于该矩阵方程的正定解的研究成果较少.本工作首次利用Thompson度量研究矩阵方程(1)，给出该矩阵方程存在正定解的充分条件;构造求其正定解的迭代方法，并给出迭代方法的误差估计式;最后，用数值例子验证了该迭代方法的可行性.

用P(n)表示由n×n阶正定矩阵组成的集合.对于Hermitian矩阵M和N，M≥0(M＞0)表示M为半正定(正定)矩阵，M≥N表示M－N是半正定(正定)的.对于n×n阶正定矩阵M，分别用λ1(M)和λn(M)表示M的最大和最小特征值.‖M‖表示矩阵M的谱范数.在锥P(n)上定义Thompson度量

1 主要结果

下面给出广义Stein方程(1)存在正定解的充分条件，构造求解的迭代方法，并给出迭代方法的误差估计式.

引理1［9］对任意的A，B，C，D∈P(n)，有d(A+B，C+D)≤max{d(A，C)，d(B，D)}.

引理2［10］设A是n×n阶半正定矩阵，有

式中，γ=max{λ1(X)，λ1(Y)}，β=λn(A).

引理3［11］设δ(·，·)为非空集合Ω上的一个度量.如果φ是Ω上的压缩映射，且压缩系数为α，则映射 φ在Ω上有唯一的不动点 x*.对任意x0∈Ω，由迭代公式xm+1=φ(xm)，m=0，1，…产生的序列{xm}收敛于x*，且有如下误差估计式：

对∀X(0)∈［αI，βI］，由迭代方法

产生的矩阵序列{Xk}收敛于，且有如下误差估计式：

式中，

证明 定义映射

其中Ω={X：αI≤X≤βI}.显然，Ω为一个非空闭凸集，且映射G在Ω上连续.

对任意的X∈Ω，有

又由定理的条件和式(4)和(5)，可得

即

从而

由式(7)和(8)，可得

式(9)说明映射G将Ω映射成自身.下证G为Ω上的压缩映射.

对∀X，Y∈Ω，设

则由Weyl定理，可得

又由引理1和引理2以及式(2)和(3)，可得

又因为Q为正定矩阵，则λn(Q)＞0，所以

因此，映射G在Ω上为压缩映射.由引理3可知，映射G在Ω上存在唯一不动点，即

产生的矩阵序列{Xk}收敛于，且有如下误差估计式：

2 数值例子

下面用数值例子来说明用迭代方法(见式(6))来求广义Stein方程(1)的正定解是可行的.以下结果都是用Matlab 7.1软件运行得到的.

例1 对于广义Stein方程(1)，取m=2，

经验证，上述A1，A2满足定理1的条件.考虑迭代法(见式(6))，若取X0=5I，经过53步迭代后，得到广义Stein方程(1)的正定解为

例2 对于广义Stein方程(1)，取m=2，

经验证，上述A1，A2满足定理1的条件.考虑迭代法(见式(6))，若取X0=2I，经过71步迭代后，得到广义Stein方程(1)的正定解为

例1和例2均表明用迭代法(见式(6))求广义Stein方程(1)的正定解是可行的.

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