外微分在微积分中的应用

宋泽成，于兰芳

（1. 唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000；2. 河北民族师范学院 数学与计算机系，河北 承德067000）

外微分在微积分中的应用

宋泽成1，于兰芳2

（1. 唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000；2. 河北民族师范学院 数学与计算机系，河北 承德067000）

引进外积和外微分的概念后，用来解释微积分中的二重积分变量变换式、场论中的格林公式、斯托克斯公式和高斯公式。

外微分；解释；微积分

在实际应用中，我们常用到的积分一般在三重积分以内，因此，这里只讨论到三重积分。实际上可推广到n重积分。

1 外积和外微分

定义1设φ、ψ是一元函数，我们规定一种运算为“外积”，用“∧”表示

外积具有下列性质：

（1）外积是可结合的，即

（2）外积是双线性的，即

（3）外积是不可换的，但有如下关系式：

定义2设M是二维或三维空间，如果线性映射dM具有下面性质：

（1）f是一连函数时，dMf=df，这里d是普通微分。

则称此线性映射为外微分。

有了以上的预备知识之后，就可以来解释微积分中的一些问题了。

2 外微分的应用

2.1 用外微分解释二重积分的变量变换公式

设

其中D是R2中区域，f是D上连续函数（如果需要，可以假定它是C1阶）作变量代换：

则f(x,y)代换成f(x(u,v),y(u,v))，将用坐标（u,v）表示，而积元素dxdy将代换为

这就是微积分所述的公式

但是，如果将变量代换(*)微分，得：

那么，积分号∫下的dxdy是否是(**)中两式相乘呢？显然不是。但如果把dx、dy看作一次微分形式，把积分号∫下的dxdy看成外积，即dx∧dy，那么，利用外积的性质，有

在n重积分中的变量代换公式也有完全类似的结果。……