利用“动态圆”展示带电粒子在磁场中的临界变化

刘月荣

（邗江中学 江苏 扬州 225009）

带电粒子在磁场中临界问题中大概分为两类基本问题，一类问题是射进磁场的粒子速度方向相同造成的临界问题；另一类是射进磁场的粒子的速度大小相同造成的临界问题．对于这些两种问题可以利用“动态圆”—— 即改变圆半径的大小或改变圆的位置，从而找出临界点，进一步得出结论．下面就一些实例对“动态圆”应用作一些详解．

类型一：射进磁场的粒子速度方向相同而速度大小不同造成粒子在磁场中运动的临界问题——画出“动态圆”，改变圆半径的大小找出临界条件．

【例1】如图1所示，真空中狭长区域的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，宽度为d，速度为v的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD夹角为θ，电子的质量为m、电荷量为q，为使电子从磁场另一侧边界EF射出，求电子的速度v应为多大．（不计电子的重力）

图1

解析：所有电子射进磁场时速度方向与磁场的CD边成θ角，但粒子的速度大小不同，故粒子在磁场中运动的圆轨迹的半径不同．改变粒子运动的半径，画出粒子运动的轨迹 —— 与入射速度相切的“动态圆”，如图1所示．可以看到随着粒子运动速度的增大，粒子运动的轨迹将会从EF射出．若要使粒子从EF射出，则临界条件应取粒子运动的轨迹与EF相切．设粒子运动的半径为R，则

（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量．

（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点

由相应的几何知识可知

由以上各式得

【例2】（2010年高考全国Ⅱ卷第26题）图2中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为U；两板之间有匀强磁场，磁场应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面向里．图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里．假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面，垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H 射入磁场区域．不计重力．（图中未画出）穿出磁场，且GI长为，求离子乙的质量．

图2

（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达．

解析：（1）已知离子沿平行金属板做直线运动，故离子所受电场力和洛伦兹力平衡，得

由于离子都是垂直EF边界进入磁场，但由于离子运动半径无法确定，因此可以改变离子运动的半径，画出与离子速度相切的系列“动态圆”——离子的运动轨迹，如图2所示．发现离子若要到达EG并从EF边界射出，则离子运动的轨迹圆应与EG相切于K点，由几何关系得．设离子运动的半径为R，则qv B＝，得．故得甲离子的质量为?

得离子乙的质量为

类型二：射进磁场的粒子的速度大小相同而方向不同造成粒子在磁场中的临界问题——利用“动态圆”，改变圆的位置，找出临界条件．

【例3】半径r＝10 cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33 T垂直于纸面向内，如图3所示．在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v＝3．2×106m／s的α粒子；已知α粒子质量为m＝6．6×10－27kg，电荷量q＝3．2×10－19C，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少．

图3

（1）速度大小；

（2）速度方向与y轴正方向夹角正弦．

图4

解析：由于粒子进入磁场的速度大小均相同，故粒子运动的轨迹半径均相同．粒子进磁场的速度方向不同，因此画出半径大小相同、但位置不同的“动态圆”，可从“动态圆”与磁场的交点看出，轨迹对应的弦越长，则圆心角越大，粒子运动的时间越长．故当粒子运动轨迹与磁场上边界相切时，弦最长，圆心角最大，时间最长，最后离开磁场，且时间为运动周期的，故

得

通过以上实例对“动态圆”应用的例解，使学生对此类问题会有很好的把握，提高他们的应变能力．