用四元数描述飞行器姿态时的几个基本问题
2012-03-20 06:21:02范奎武
航天控制
2012年4期
范奎武
海军驻航天一院军代表室，北京100076
爱尔兰数学力学家哈密尔顿于1843年发明四元数，之后四元数用于描述刚体在三维空间中的姿态。描述刚体姿态的还有姿态角(欧拉—克雷洛夫角)和方向余弦矩阵。在建立飞行器运动的数学模型时，可以初步把它们看作是刚体。现在四元数在飞行器捷联式惯性导航系统中得到了广泛使用。建立四元数与方向余弦矩阵之间的关系，描述刚体合成转动的四元数与欧拉角之间的关系，推导出四元数微分方程，这是初学四元数时会遇到的3个难理解的问题。以下将叙述并推导这些问题。
1 四元数的定义与表示方法的简要回顾
四元数由1个实数单位和3个虚数单位组成
式中i，j，k是正交单位矢量，与平面内的复数相似，可以用向量式、复数式、指数式、三角式及矩阵式等多种形式表示四元数。
定义四元数的范数为
于是，有
在定义了四元数之后，相应地定义了相等与数乘、四元数之间的乘法。四元数乘法服从结合律，但不服从交换律，四元数的乘法和加法服从乘法对加法的分配律。文中用“◦”表示四元数相乘。
与Λ标量部分相同，向量部分反号的四元数λ0－λ称为Λ的共轭四元数，记为Λ*=λ0－λ。
2个四元数的乘积的共轭四元数等于这2个四元数各自的共轭四元数以相反的顺序相乘的乘积，即
上式可以推广到2个以上四元数乘积的情况。
即
对规范化四元数，有Λ－1=Λ*。当Λ≠0，P≠0时，有
同理可以推广到n个四元数乘积的共轭四元数情况
2 用四元……
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