隐含条件,隐在哪里

陈平

一、数学对象的前提、适用范围和应用背景中的隐含条件

解数学题时，我们往往比较重视概念、定义、公式、定理等数学对象本身，却容易忽略其前提、适用范围和应用背景等外围因素．而这些外围因素中的隐含条件，有时会对解题产生关键性的影响．

1．定义、概念等的前提条件

例1 已知动点P到点A（1，0）的距离与到直线m：x+y=1的距离相等，则点P的轨迹是

（A） 椭圆 （B） 双曲线 （C） 抛物线 （D） 直线

错解： ∵点P到定点A的距离与到定直线m的距离相等，∴ 点P的轨迹是抛物线． 选C．

错因分析：“到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线”，这个定义的前提条件是“定点不在定直线上”. 错解忽视了这一隐含条件，导致错误．

正解： ∵点A（1，0）在直线ｍ上，∴点P的轨迹不是抛物线，而是过点A的直线ｍ的垂线. 选D．

2．公式、法则等的适用条件

例2 已知双曲线x2-=1，过点B（1，1）能否作直线l，使点B是直线l被双曲线所截得的弦的中点？

错解： 设直线l存在且与双曲线交于点P1（x1，y2），P2（x2，y2），则有-=1，-=1，两式相减得2（x1-x2）（x1+x2）-（y1-y2）（y1+y2）=0． 由题意得x1+x2＝2，y1+y2＝2， ∴ ＝2， 即直线l的斜率为2． ∴ 能作出符合条件的直线l，l的方程为y=2x-1．

错因分析： 例2运用点差法处理直线与曲线的位置关系，但点差法的适用条件是直线与曲线有两个交点，即联立直线方程与曲线方程得到关于x的一元二次方程，其判别式Δ＞0． 在例2中，将y=2x-1代入x2-=1，可得2x2-4x+3=0，其判别式Δ<0. 故使用点差法时必须考虑判别式.

正解：由错解得直线l的方程为y=2x-1． 联立y=2x-1与x2-=1，整理得2x2-4x+3=0，其判别式Δ=-8<0， ∴ 直线与双曲线没有交点，即不存在符合条件的直线l．

3．实际的应用背景

例3 某家具店销售一种桌椅，每张桌子成本500元，利润80元；每把椅子成本200元，利润40元． 根据销售经验，进货时椅子数不能少于桌子数，但不能多于桌子数的1.5倍． 试问用2万元的成本销售这种桌椅，最多可得多少利润？

错解： 设购进桌子和椅子的数目分别为x，y，则有500x+200y≤20000，x≤y≤1.5x，x≥0，y≥0.（①），利润z=80x+40y （②）． 化简500x+200≤20000得y≤100-2.5x. 如图1所示，分别作出直线 y=100-2.5x，y=1.5x，y=x的图象，阴影部分即为不等式组①表示的区域. 其中， y=100-2.5x与y=1.5x交于点A（25，37.5），与ｙ＝ｘ交于点B，. 再作出②式所在直线l：y=-2x+，当l经过点A（25，37.5） 时，直线的纵截距最大，此时z取得最大值3500，即最多可得利润3500元．

错因分析： 根据实际意义，桌子和椅子的数目必须是正整数，而当z取得最大值3500时，y=37.5不是整数. 虽然从数学计算的角度来讲并没有错，但这违背了实际常识．

正解： 由错解可知z=80x+40y<3500，即2x+y<87.5， ∵ x，y∈N*， ∴ 2x+y≤87． 计算可得当x=25，y=37或x=26，y=35时2x+y=87，此时z=3480，即最多可得利润3480元．

二、题设条件、数式结构中的隐性要求

数学题的文字表述和数式表达往往不会直接或明显地反映出某些条件，如果在分析题意时不深入挖掘这些隐含条件，就会造成错解、增解和漏解．

1．题设中的隐含条件

例4 已知离散型随机变量的分布列如下表，求E．

错解： 由数学期望值公式可得E=-1×0.5+0×（1-2q）+1×q2=q2-0.5．

错因分析： 在例4中，除了题目明确给出的变量各个值对应的概率表达式外，还隐含着一个条件：各个概率值应在0到1之间且概率之和为1，因此q是一个确定值，E也是一个确定值．

正解： 由0.5+（1-2q）+q2=1，0≤1-2q≤1，0≤q2≤1解得q=1-， ∴ E=q2-0.5=1-．

2．变量、式子的取值限制

例5 求函数f（x）=log（x2-2x-3）的增区间．

错解： f（x）由y=logu和u=x2-2x-3复合而成，∵ y=logu是减函数，∴应求出u=x2-2x-3的减区间．由u′=2x-2解得u=x2-2x-3的减区间为（-∞，1］， ∴ f（x）=log（x2-2x-3）的增区间为（-∞，1］．

错因分析： 函数f（x）中存在对数式，隐含着“真数大于零”这个条件，若忽视了这个隐含条件，就会扩大增区间的范围，导致错误．

正解： 由错解得u=x2-2x-3的减区间为（-∞，1］，又由x2-2x-3>0得x<-1或x>3，∴ f（x）=log（x2-2x-3）的增区间为（-∞，-1）．

三、运算求解、推理变形过程中的隐含条件

在运算与推理的过程中，条件在不断地变化．一些原有的隐含条件可能不再起作用，而新的隐含条件可能会产生. 忽视隐含条件的变化，也是解题失误的重要原因．

1．解题中新出现的隐含条件

例6 求过P（2，2）且与A（1，3），B（3，5）两点距离相等的直线方程．

错解： 设所求直线方程为y-2=k（x-2），即kx-y+2-2k=0. 由 A，B两点到直线的距离相等，可得=，化简得k+1=k-3，解得k=1． ∴所求的直线方程为x-y=0．

错因分析： 把直线方程设为y-2=k（x-2），隐含着“直线的斜率存在”这一条件．如此一来，斜率不存在的直线就被错误地排除在外了．

正解： 由错解得x-y=0. 又当直线斜率不存在时，过点P的直线方程为 x=2， x=2与A，B的距离都等于1，也满足要求． ∴ 所求的直线方程为x-y=0与x=2．

2．求解中消去的隐含条件

例7 已知3sin2α+2sin2β=2sinα，试求sin2α+sin2β的取值范围．

错解： 由题意得sin2β=（2sinα-3sin2α）， ∴ sin2α+sin2β=sin2α+•（2sinα-3sin2α）=-（sinα-1）2+． ∵ -1≤sinα≤1， ∴ -≤sin2α+sin2β≤．

错因分析： 解题过程中消去了变量sinβ，使整理所得的式子仅含一个变量sinα，但sinβ的取值范围限制也因此被“消去”了．

正解： 由错解得sin2α+sin2β=-（sinα-1）2+． ∵ -1≤sinβ≤1，由0≤sin2β=（2sinα-3sin2α）≤1解得0≤sinα≤， ∴ 0≤sin2α+sin2β≤．

总结：通过对以上例题的分析与讲解，我们知道，重视隐含条件是提高解题正确性的重要保障，这一点要贯穿在分析和求解数学题的整个过程中．