一阶非线性时滞差分方程的线性化振动定理

赵香兰，陈慧琴

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009)

近些年来，许多专家学者对差分方程解的振动性、渐近性等做了大量的探讨，得到了一些很好的结果，如文献[1-4]。随着科学技术的不断发展与计算机的广泛应用，人们提出了许多由差分方程描述的数学模型，因而对非线性差分方程线性化振动性的讨论就显得非常必要，文献[4-5]研究了形如

的差分方程的线性化振动性。但对于中立型差分方程的线性化问题，尚较少见到结果。为此，本文讨论一类非线性中立型时滞差分方程

Δ（xn-pnxn-τ）+f(n，xn-k1，xn-k2，…，xn-km)=0，n∈N。其线性化差分方程为

其中τ，m为正整数，ki为非负整数，当n∈N时，pn＞ 0，qi(n)(i=1，2，…，m)非负，且不全为零。如果实数列{xn}满足方程(1)，我们称{xn}为方程(1)的一个解;如果存在N∈N+，当n＞N时，xn＞0，我们称{xn}为方程(1)的一个最终正解;最终负解可类似定义。如果方程(1)的一个解{xn}既不是最终正解，也不是最终负解，则称此解为方程(1)的振动解;若方程(1)的所有解振动，则称方程(1)振动。

先考虑差分方程

与差分不等式

其中τ，m为正整数，ki为非负整数，当n∈N时，

且 f关于ui(i=1，2，…，m)非减。

引理 设(H1)有 N ＞ 0，使得PN+kτ≤1，k≥0，若{xn}为方程(1)的最终正解，令zn=xn-pnxn-τ，则最终有 Δzn≤ 0，zn＞ 0。

此引理的证明类似文献[4]中的证明，此处省略其证明过程。

定理1 设引理中的条件成立，则方程(1)有最终正解的充要条件是不等式(2)有最终正解。

即方程(1)振动的充要条件是不等式(2)振动。

证明 方程(1)的最终正解显然是不等式(2)的最终正解。

设不等式(2)有最终正解{xn}，由定义及引理知，有正整数M，使得n≥M- μ时，xn＞0，xn-τ＞0，从而有

这时由(2)，得

对上式从n到∞求和，得