一类分数阶微分方程系统边值问题正解的存在性

申腾飞，宋文耀

（中国矿业大学理学院，江苏徐州 221008）

一类分数阶微分方程系统边值问题正解的存在性

申腾飞，宋文耀

（中国矿业大学理学院，江苏徐州 221008）

利用锥拉伸与压缩不动点定理和Leray-Schauder非线性抉择，讨论了一类非线性的Riemann-Liouville分数阶微分方程耦合系统边值问题，得出边值问题的正解存在的充分条件.

分数阶微分方程；边值问题；不动点定理；正解

近年来，分数阶导数及分数阶微分方程在科学、工程和数学等领域得到了重要应用，例如已成功应用于粘弹性材料、信号处理、控制、生物等领域[1].许多学者投入到分数阶微分方程的研究，并取得了很多研究成果[2-12].

苏新卫用Schauder不动点定理研究一类分数阶微分方程耦合系统边值问题

正解的存在性[2]；白占兵，吕海深[3]研究了一类分数阶微分方程两点边值问题，Bashir Ahmad[4]讨论了一类三点的分数阶微分方程耦合系统边值问题.本文将采用锥拉伸与压缩不动点定理和Leray-Schauder非线性抉择研究下面的一类分数阶微分方程耦合边值问题.

本文主要讨论以下分数阶3＜α,β≤4的微分方程系统的边值问题

正解的存在性，其中

f,g:[0,1]×R+×R→R+连续函数，利用Leray-Schauder非线性抉择，锥上不动点定理，给出该问题的至少存在正解的充分条件.

1 预备知识

定义1[3]函数y:(0,+∞)→R的α阶Riemann-Liouville分数阶积分为

其中，α＞0，Γ(⋅)为gamma函数.

定义2[3]连续函数(0,+∞)→R的α阶Riemann-Liouville分数阶导数为

其中，α＞0，Γ(⋅)为gamma函数，n=[α]+1.

引理1[3]若α＞0，u∈C(0,1)⋂L(0,1),则分数阶微分方程u(t)=0有唯一解

其中N为大于或等于α的最小整数.

引理2[3]若α＞0，u∈C(0,1)⋂L(0,1)，u∈C(0,1)⋂L(0,1)，则存在ci∈R,i=1,2⋅⋅⋅,N，使得

其中N为大于或等于α的最小整数.

引……