离散傅里叶级数的抽样定理解释

李相国，梁义涛，李红岩

(河南工业大学信息科学与工程学院，河南郑州 450001)

离散傅里叶级数DFS及离散傅里叶变换DFT是“数字信号处理”课程中非常重要的内容之一。而且，离散周期信号的DFS是有限长(非周期)数字信号通过DFT计算离散谱的理论基础。因此理解DFS是理解DFT的前提与基础。本文分析了几种被广泛使用的国内外优秀教材及参考书，学习并比较了它们对DFS及DFT的处理方法。在学习借鉴基础上，从频域采样角度及采样定理的基本思路出发，推导了频域采样需要满足的条件，还给出了类似于频谱周期延拓的图形表达方式，它比公式表达更直观，有助于学生对DFS及DFT的感性认识。

1 现有的DFS定义

从数字信号处理的应用角度，一般面对的都是有限长(非周期)信号，因此，在引入离散周期信号时，普遍采用人为构造的方式。这样可以和已学知识建立联系以便更容易接受，也为进一步理解离散非周期信号的DFT做好了铺垫。

1.1 直接定义离散周期信号

在介绍DFS概念时，一些教材采用直接定义离散周期信号的方式［1-3］。这种方式偏重于数学推导，下面以著作［1］为例进行介绍。

在此基础上，给出了其傅里叶级数的表达式:

1.2 连续周期信号的时域采样

1.3 离散非周期信号的频域采样

在文献［5］和［6］中，都是从离散非周期信号的连续周期谱的采样开始。但其后续处理方式并不一样。在文献［5］中采用了如下处理方式。

文献［6］中的频域采样在一个周期内进行，得到的是一个有限长的(非周期)离散谱，因此，其没有使用离散周期信号以及DFS，而是直接给出了DFT表达式。……