八元数上矩阵行列式的一种定义及几个性质

王丹

摘要： 本文采用代数余子式的方法，给出八元数矩阵行列式的定义，本定义不需规定结合方式，运算比较简单，具有较好的运算性质.但是，与实数、复数，以及四元数的相应的情形比较，如此定义的行列式，其所具备的运算性质较少.本文给出了一种新的八元数行列式的定义，它们具备了尽可能多的运算性质.

关键词： 八元数矩阵行列式定义性质

设任意一个八元数x∈O，都可以表示为x=x+xe+xe+xe+xe+xe+xe+xe，其中x，x，x，x，x，x，x，x∈R，八元数的加法是所对应相加，乘法由文［1］中乘法表完全由确定.由于八元数O的乘法既不满足交换律又不满足结合律，如何在八元数O上定义n阶矩阵A的行列式|A|，使其运算尽可能简单，尽量少选择（或不选择）运算顺序，性质的满足尽可能多，而当A一般数域P上n阶矩阵时，|A|等于取至于不同的行与不同的列的n个数乘积的代数和.文［1］作者在文［1］中指出文［2］给出八元数矩阵行列式的定义的不足.文［1］首先规定了八元数乘法的左右结合积：

“约定n个有序八元数x，x，…，x，x的左结合积为（（…（（xx）x）…）x）x，类似定义n个八元数x，x，…，x，x的右结合积.”

再利用n阶对称群［3］给出矩阵行列式如下的定义：

“设A∈O，即A为以八元数为元素的n阶矩阵.设S是n文字的对称群，设σ=（i，i…i）∈S，σ=（j，j，…j）∈S与其对应的n个元素a，a，…，a共有n!种不同次序的排列，其所有排列的左结合积之和，记为〈a，a，…，a〉，同样其所有排列的右结合积之和，记为〈a，a，…，a〉.以τ（σ）代表σ=（i，i，…，i）的反序数，τ（σ）代表σ=（j，j，…，j）的反序数.易知τ（σ）和τ（σ）与其对应的n个元素〈a，a，…，a〉a，a，…，a的乘积的次序与结合方式无关.令

〈a，a，…，a〉=〈a，a，…，a〉+〈a，a，…，a〉

我们定义|A|如下：

|A|=（-1）〈a，a，…，a〉.”

显然此定义满足了较多行列……