直接法稳定性分析新见

王静

摘要：指出线性方程组原始矩阵的条件数与算法无关，因而用该条件数衡量直接法稳定性不科学，提出算法的求解矩阵与算法直接相关，因此用求解矩阵的条件数反映算法稳定性更为合理的新见解。

关键词：直接法；算法；条件数；稳定性

中图分类号：TP301文献标识码：A文章编号：1009-3044(2012)16-3940-02

The New Opinion of Stability Analysis for Direct Methods

WANG Jing

(Teaching Research Office of Computer, North-Sichuan Medical Institute, Nanchong 637000, China)

Abstract: This paper points out the condition number of original coefficient matrix of linear equations has nothing to do with the algo? rithm itself, so it is not scientific by using this condition number to measure the stability of direct methods. Because the solving matrix is as? sociated with the algorithm itself directly, we present a new opinion that using the condition number of the solving matrix to reflect the sta? bility of algorithm is more reasonable.

Key words: direct methods; algorithm; condition number; stability

求解线性方程组有两类方法：直接法、迭代法。其中直接法是指在不考虑计算误差的前提下，通过确定的计算次数就能算出理论解的所有算法。包括各种Gauss消元法、改进平方根法、追赶法和正交变换法。直接法不存在收敛问题，而仅考虑方程组的稳定性问题。现行的教材文献分析算法稳定性的方法是通过计算原始矩阵的条件数cond(A)来分析算法的稳定性，公式如下：

1）分析方程组右端项扰动对解的影响

假设δA=0，设δb引起δx，有

算法的稳定性是选择算法的关键，在所有软件包中找不到Gauss消元法，就是因为该算法不稳定。分析算法的稳定性一定要与算法相关，用与算法无关的原始系数矩阵的条件数反映算法的稳定性是不科学的，只有用与算法直接相关的求解矩阵的条件数衡量算法的稳定性才更合理。改进平方根法会扩大矩阵条件数，因此稳定性不好，而正交变换法更稳定，如果原始矩阵的条件数是病态的，通常采用正交变换法。

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