一次例题教学中凸显的一堂高效数学复习课

刘定定

课堂教学我注重了小组合作学习，数学问题都是先由学生小组讨论，自主探究、思考，然后让每一小组把讨论的结果展示出来，由师生共同探究。我在高三复习不等式最值（值域）的解法时，在上课前精选了几道我自己认为很有代表性的例题，目的是通过几道例题将不等式值域（最值）常用解法归纳总结，如配方法、基本不等式法、函数单调性法、数形结合法、导数法和向量法等。但由于例题的局限性，要讲清楚这些方法，通常情况下需要各种不同的例题，两个课时完成，以说明这些方法的应用特征和技巧。但是在实际教学过程中，第一道例题在学生讨论的过程中产生了意想不到的现象，各组提出了许多种做法，几乎涵盖了我预设的求不等式值域（最值）的各种方法。

例题 已知a>0,b>0,a+b=1,求a+1+b+1的最大值。

黑板上写出题目，各个小组迅速讨论，几分钟过后，很快就有学生举手，我要求各组依次把他们的方法展示出来，有一个小组是这样解的：

方法一 令M=a+1+b+1，等式两边平方，然后利用基本不等式得：M2=a+1+b+1+2a+1?b+1≤3+(a+1+b+1)=6，得最大值为6。

还有一个小组利用课本习题的结论，也是基本不等式：

方法二 教材（人教版）不等式一节的习题a2+b22≥a+b22的变形a+b≤2?a2+b2，(a>0,b>0)证明方法更加直接，a+1+b+1≤2(a+1+b+1)=6。我们分析了a，b的取值范围和等号成立的条件，我补充说，课本上的这道题也是一个非常重要的不等式，我要求学生今后求最值时注意应用。

至此，我选这道题的目的已经达到，准备进入下一道题，然后各组学生像炸开锅一样在说着自己的做法，有一个组的同学的方法也是利用课本上一道习题的结论：