利用几何画板绘制圆锥曲线的统一轨迹

朱日华

● 前言

轨迹是数学图像的重要组成部分，几何画板是展示轨迹生成和动画演示不可或缺的技术工具。教材和教辅上的绝大多数轨迹问题在笔者的精心研究下总能迎刃而解，但教材中的一道轨迹问题却困扰了笔者好几个月，在反反复复的苦心探究下，最终获得了圆满解决。正是这个问题的解决，使笔者对轨迹的认识有了极大的提高，构建了自己的轨迹理论，为以后遇到的类似轨迹问题提供了一个清晰的构图方向。在此，笔者将其编撰成文，以飨读者。

● 轨迹理论

轨迹生成的原理是从一个主动点出发，依托几何画板提供的功能，按照一系列规则做出从动点，从而生成轨迹（或演示动画）。

每一个轨迹生成或动画演示问题，无论复杂与否，都可以概括为一个（或几个）从主动点到从动点的构图过程。与纸上作图不同，几何画板上的点线具有“父子”的层次关系，要生成最终轨迹，必须保证主动点与从动点的“父子”层次关系的单向传递性，一系列构图规则的确定都必须遵循这一原则。

● 问题的背景

椭圆、双曲线、抛物线是圆锥曲线家族的三成员，它们除了各自的身份和特征，还具有一个统一的定义：平面内到一个定点和到一条定直线（定点在直线外）的距离之比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，其中，定点是焦点，定直线是准线，常数是离心率，当常数小于1时，轨迹是椭圆；当常数等于1时，轨迹是抛物线；当常数大于1时，轨迹是双曲线。……