一类具有分布时滞Liénard方程反周期解的存在性和唯一性*

田龙伟，王良龙，张洪彦

(安徽大学数学科学学院，合肥 230039)

在过去十几年中，人们对Liénard方程的周期解和概周期的存在性和唯一性进行了深入的研究［1-5］.随着科学的发展和应用，对反周期解性质的研究逐渐引起人们的关注［6-12］.在文献［7］中，作者利用 Leray-Schauder度理论研究了一类Liénard 方程x″+f(t，x'(t))+g(t，x(t-τ(t)))=P(t)的反周期解的存在性和唯一性.在此基础上利用Leray-Schauder度理论讨论具有分布时滞的Liénard方程:

的反周期解的存在性和唯一性，推广了文献［7］中的结果.

1 准备知识

引理1［13］设Ω是线性赋范空间X中的有界开集，是上的全连续场，如果 deg{，Ω，p}≠0，p∈Xf(∂Ω)，则方程(x)=p在Ω内至少存在一个解.

引理 2［14］设 x∈C2(R，R)，且∀t∈R，x(t+T)=x(t)x(t)dt=0，则

引理3 若方程(1)满足(H2)且满足下列条件之一:

(H3) 存在常数L3，使得

(H4) 存在常数m，使得

设z(t)=x1(t)-x2(t)，从式(4)知道，

因为z(t)=x1(t)-x2(t)是定义在R上的反周期函数，则

由引理3，有

假设(H3)或(H4)成立，有下列两种情况:

情况1 如果(H3)成立，对方程(5)两边乘以-z(t)且从0到T积分，有

由式(2)(7)及Schwarz不等式，有

因为z(t)，z'(t)都是反周期连续函数，由条件(H3)和式(8)，得z(t)≡z'(t)≡0，∀t∈R.因此x1(t)≡x2(t)，∀t∈R.从而方程(1)至多有一个反周期解.

情况2 如果(H4)成立，对方程(5)两边乘以z'(t)且从0到T积分，有

由式(3)(9)和(H4)，得到 z(t)≡z'(t)≡0，∀t∈R.因此 x1(t)≡x2(t)，∀t∈R.从而方程(1)至多有一个反周期解.

2 主要结论及证明

定理1 设(H1)成立，如果(H3)和(H4)其中之一成立，则方程(1)有唯一的反周期解.

证明 构造方程(1)的辅助方程

由引理3知，方程(1)至多有一个反周期解，因此要证明定理1，只要证明方程(1)至少有一个反周期解.下面

利用引理1来证明方程(1)至少有一个反周期解.

首先设x∈是辅助方程(10)的反周期解，类似(7)的证明过程，有

对(H3)和(H4)，考虑如下两种情况:

情况1 如……