树上n维乘积自映射等度连续的充要条件*

杨 柳

(重庆师范大学数学学院，重庆 401331)

在动力系统的研究中，不变点集性质的研究是十分重要的工作，对于区间上的连续自映射所产生的动力系统来说，已经有了较多而且比较深刻的结果.此处主要研究树上n维乘积自映射所具有的一些性质.

系统的等度连续性是系统稳定性的一种刻划，对于区间上连续自映射和圆周自映射的周期点集上的等度连续性，文献［1］-［3］分别进行了讨论，文献［4］给出了树上连续自映射在周期点集上具有等度连续性的几个充要条件，此处在他们的基础上给出了树上n维乘积自映射在周期点集上具有等度连续性的3个充要条件.

下面给出一些基本概念和记号.

记T为树，即不含有圈的一维紧致连通的分支流形，f∈C°(X，X)表示紧致度量空间(X，d)上的连续自映射，T，T1，T2，…，Tn均表示树，设(X1，d1)，(X2，d2)，…，(Xn，dn)是紧致度量空间，

定义1［1］设X为一拓扑空间，f∈C°(X，X)，用f°表示恒等映射，对任意自然数n，归纳地定义f1=f，f2=f°f，…，fn=f°fn-1.

定义2［1］设x∈X，若存在自然数n，使得fn(x)=x，则称x为f的周期点，f的周期点集记作P(f).

定义3［2］设x∈X，若对x的任何邻域V(x)，存在自然数n，使得fn(x)∈V(x)，则称x为f的回归点，记f的回归点集为R(f).

定义4［2］设f∈C°(X，X)，称x是f的异状点，若存在p∈P(f)，满足

①x≠p;②x∈Wu(p，fn)，这里Wu(p，f)表示p的非稳定流形，n是p的周期;③存在m∈N，fmn(x)=p.

定义5［5］设f∈C°(X，X)，若∀ε ＞0，∀p∈P(f)，存在p的邻域V(p)，使得直径 diam(fm(V(p)∩P(f)))＜ε，∀m≥0，则称等度连续.

定义6［5］X×X×…×X的度量 ρ为

1 若干引理

引理 1 若f∈C°(T，T)，则fP(f)具有等度连续性等价于h(f)=0.

引理3 若f∈C°(X，X)，p∈F(fn)，n＞0，则Wu(p，fn)=Wu(p，fkn)，∀k＞0.

引理 4 若fi∈C°(X，X)(i=1，2，…，n)，则

其中m=［m1，m2，…，mn］为m1，m2，…，mn的最小公倍数，m1，m2，…，mn分别是p1，p2，…，pn的周期.

证明 ∀z=(x1，x2，…，xn)∈WU((p1，p2，…，pn)，(f1×f2×… ×fn)n)，设V(pi)分别是pi的任意一个邻域，则V(p1)×V(p2)×… ×V(pn)是(p1，p2，…，pn)的一个邻域.由于z∈WU(p1，p2，…，pn)，存在k＞0，使得z=(x1，x2，…，xn)∈(f1×f2x× … ×fn)kn(V(P1)×V(P2)× … ×V(Pn))，从而xi∈(V(pi))，即xi∈WU(pi).故(x1，x2，…，xn)∈WU(p1)×WU(p2)×… ×WU(pn)，即

反之，∀xi∈WU(pi)(i=1，2，…，n)，令z=(x1，x2，…，xn)，下证……