欧氏空间的等积变换的性质

王朝霞，张 庆

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

数学研究

欧氏空间的等积变换的性质

王朝霞，张 庆

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

首先给出了欧氏空间的等积变换的定义。其次给出4个引理并利用这些引理给出了有限维欧氏空间的两个线性变换为等积变换的充要条件，其中一个充要条件反应了两个等积变换在规范正交基下的矩阵关系，另一个充要条件反应了两个等积变换之间的关系。最后给出了无限维欧氏空间为等积变换的一个充要条件及等积变换的一个性质。

欧氏空间；线性变换；等积变换；规范正交基

1 引言

在欧氏空间V中，若,σ τ 为V的两个正交变换，则对任意的ξ, η∈V，都有

反之，如果对任意的ξ, η∈V，都有

那么,σ τ 未必是为V的两个正交变换。本文要研究保持内积不变的同一欧氏空间的两个线性变换的关系。

2 预备知识

定义 在欧氏空间V中，,σ τ 为V的两个线性变换，若对任意的ξ, η∈V都有

则称,σ τ 为V的两个等积变换。

引理1[1]若V是欧氏空间，V的向量组

线性无关的充要条件是及

引理2 若V是欧氏空间，V的两个向量组为由X, Y的任意性知ATA=BTB=0，即ATA=BTB。

由引理及定理1可得定理2。

定理2 若σ,τ为n维欧氏空间V的两个线性变换，则σ,τ为V等积变换的充要条件是存在正交变换φ，使得φσ=τ。

证明 充分性。若存在正交变换φ，使得σ=φτ，则对任意的ξ,η∈V，都有

σ（ ξ）,σ（ η）=φ（ τ（ ξ））, φ（ τ（ η））=τ（ ξ）,τ（ η）

因此σ,τ为V的两个等积变换。

必要性。若σ,τ为V的两个等积变换，设

为欧氏空间V的一个规范正交基，σ,τ关于

的矩阵分别为A,B，由定理1，ATA=BTB，而ATA的位于第i行第j列的元素为