GM(1,1)模型在桥梁变形监测中的应用

摘要：桥梁在施工运行期间，由于受外界环境的影响而发生沉降变形，若变形超出了限定要求，则会影响其正常使用。因而，预测其可能的变形区间和沉降值是桥梁变形监测的重要内容。本文选取桥墩上1点的沉降观测数据，运用GM（1，1）模型预测理论对1点沉降观测数据进行分析和预报，并评出模型结果的精度等级，得出未来几天内几乎没有沉降的结论。

关键字：GM（1，1）模型；平均相对误差；预测

Abstracts: During the operation, due to the impact of the external environment would be subject to settlement deformation, if bridge construction deformation was beyond the limit required, it would affect their normal use. Thus, to predict the value of settlement and the possible range of deformation is an important part of the bridge-deformation monitoring. Have selected a settlement observation data of point NO.1 on the pier, this paper was use of settlement observation datas of 1-point to predict and analysis for forecasting ,based on GM (1,1) model theory, and Top the accuracy level of Model, had conclusion of almost no settlement within the next few days.

Key words: GM(1,1) model; average ralative error; predict and forcast

中图分类号:U445.7+1文献标识码：A文章编号：

1引言

在工程建筑物施工运营期间，为了监测建筑的安全和稳定情况，了解其设计是否合理，变形监测便显得尤为重要。通过对变形观测成果进行归纳分析，确定物体的几何变形，总结出引起变形的原因、规律，并预报未来变形值的范围，从而判断建筑物的安全程度。预测发展态势有效方法[1]有很多，如回归分析、时间序列、灰色系统、卡尔曼滤波、神经网络模型、马尔科夫链、尖顶突变模型等。其中，中国学者邓聚龙教授创立的灰色模型理论优点是可以在较少的数据样本基础上，根据过去和现在已知的或非确定信息，建立一个由过去引申未来发展变化趋势的GM模型，进而对未来状态作出科学的定量预测。

桥梁垂直方向的变形具有随机性、模糊性和偶然性[2]，因此可以将桥梁变形作为灰色系统来研究。GM（1，1）模型是将原始数据认为在混乱的次序背后，必然隐藏某种规律，并利用模型去发掘和寻找这种内在整体特性，根据规律的趋势分析和预报未来变形值[3]，较好的解决了桥梁变形检测的最终目的——数列预测、可靠分析未来发展变形。本文基于传统的灰色理论模型，结合马尔科夫链思想，对随机波动性较大的观测数据拟合和预测，得出了较好的预测结果。

2 GM（1，1）模型监测理论

（1）建立GM（1,1）模型：

设原始数列为

其中，与之间的时距为，一次累加生成数列记为：

式中：；，。若生成的数列不满足光滑的条件，则可进行多次累加。

对生成的非负离散数列建立微分方程：

其中，参数a表示系统的发展态势，称发展系数；b反应数据的变化关系，称为灰色作用量。

设，按平滑差分和最小二乘法求解得发展系数：

式中，，

求出后代入微分方程，解出微分方程得：

对作累减生成还原数据：

（2）确定预测值变化区间及预测值

构造原始数据的领域族，确定预测值的上、下界：

GM=GM()

GM=GM()

式中，。由此可得预测区间为[GM, GM]，最可能的预测值为：

（3）精度估计：

设由GM(1，1)模型得到的原始数据预测值为：

｛，，…，｝

以残差、平均相对误差作为衡量精度的指标：

小误差概率p值越大越好，一般要求p大于0.95，不得小于0.7。参照p与c的大小，可将精度划分4个等级，如下表1。

3 GM（1，1）模型用于桥梁变形分析实例

本文选取解放桥监测数据进行分析和预报。解放桥位于天津市中心繁华区，北接天津站广场，南接解放北桥，人称“万国桥”。它是当时造价最高、结构最新颖、风格最独特的海河大桥，其全长96.7米，高5.5米，宽19.5米，具有双叶立转式开启跨，是天津市开埠后的地标性建筑。为保证监测的精度和变形监测数据的准确可靠选取变形监测点，随选定桥墩作为确定解放桥垂直位移监测的内容，布设测点；采用GPS-RTK进行周期观测，实测周期以能系统反应所测对象的详细变形过程，并考虑周围地质条件等。提取观测沉降数据，进行分析和预测，得出结论。

3.1 确定预测曲线

选择桥墩上点1第10期至第15期的累积沉降数据（如下表2）进行分析。

GM(1,1)模型是以等间隔数据序列为基础的，但是此次观测数据是不等间隔的序列。本文利用拉格朗日插值的方法，将不等间隔的序列转化为等间隔序列。对得到的等时距数据序列进行平移变换和累加生成，直到满足光滑条件。对沉降数据2-AGO累加生成后，进行光滑度分析，数据满足条件。再建立GM（1,1）模型得到响应函数，通过模型公式计算求得，解得预测曲线为：

累减生成预测的结果。计算平均相对误差：预测的平均相对误差为1.57%。预测结果及残差如下表3。

根据GM(1,1)预测精度PC[6]指标，可以得到预测精度等级为A级，预测精度比较理想。预测第15期的值为0.0585，而实测值为0，预测151 期，即2月3日的值为0.0268，说明1点在1月31日至2月3日几乎没有沉降。

3.3 结果分析

GM（1,1）模型，是一种呈指数增长的灰色系统模型，其预测精度受原始数列光滑度的影响。桥墩上1观测点，其变形主要受桥面上的负荷影响，在施工过程中，其沉降变形一会儿下沉，一会儿又回弹，并不呈现线性分布，因而用GM（1,1）模型预测的精度会降低；同时，在数据观测过程中，仪器的系统误差及其他的细微破坏都会对数据造成较大波动，因此在预测前对数据进行残差改正和误差剔除可以进一步提高预测值的精度。而且随着时间间隔的加大，数据离散的速度较快，如做长期预测，则结果会出现较大偏差，这就需要综合考虑多种因素，做到最佳、最可能的分析与预测。

4总结

GM(1，1)模型是灰色系统理论中应用最广泛的一种灰色动态预测模型，然而，在实践中发现，此模型的拟合或预测效果有时好，有时出现很大偏差，甚至完全失效。通过分析GM(1，1)模型的建模原理可以发现两个问题：(1) 灰色预测模型从本质上可认为是指数预测模型，因此其预测精度与被预测对象的递变规律以及数据序列的光滑度有关；(2) 灰色微分拟合法建立的离散拟合方程是一个近似差分方程，因而很难保证拟合方程与待拟合系统的微分方程严格近似，也就无法保证所建立的灰色模型的固有误差为无穷小量。本文结合马尔科夫链的方法的优点建立的GM（1,1）模型预测数据方法，较好的弥补了灰色建模的不足，得出较高精度的预测数据，可以作为后期的预报和规划的依据。

参考文献

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[3] 欧阳群霞．灰色GM(1，1)模型在基坑变形监测中的应用[J]．四川建材，2010（6）：74-75．

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[8] 邓聚龙. 灰色系统理论教程.华中理工大学出版社.1990

[9] 陈永奇，吴子安，吴中如.变形监测分析与预报.测绘出版社.1998

[10] 尹晖.顾及空间和时间关联信息的动态模型及其预报方法.1998

第一作者简介：康军利，汉族，工程师，单位：中铁二十四局集团安徽公司，上海同济大学.

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。