浅谈岩土工程中分形理论之应用

崔庆华

摘要:本文详细介绍了分形理论在岩土工程中的应用并提出在岩土工程中分形方法。

关键词:岩土工程;分形;应用

中图分类号：P642文献标识码：A文章编号：

Pick to: this paper introduces the fractal theory in the application of geotechnical engineering and put forward in geotechnical engineering of fractal method.

Keywords: geotechnical engineering; Fractal; application

1分形的研究方法

1.1分形的实验测定

对于一些结构(物体)或实验结果所表现的非规则性和粗糙性,人们直观地认为它们具有统计自相似性,进而由覆盖法或由图像处理和计算机模拟等技术测定出结构的分维,再去寻找分维与物理本征量之间的关系,以揭示某些新的规律。分形的特点是由分维来描述,从不同的观点可以给出分形集合不同的维数。在欧氏几何中,认为点是0维的、线是1维的、平面图形是2维的、空间图形是3维的。对于海岸线或Koch曲线(其分形维数为1. 262),用维数为1的直尺去量,当标尺趋于0时,量值为无穷大,只有用“1. 262维的尺子”来量度,才会有确定的“长度”,这种长度不是欧氏意义下的普通长度,而是从长度推广来的一种测度。分形维的测定方法有以下几种。

(1)相似维数。假定某客体由N个局部组成,

每个局部以相似比β与整体相似,则此客体的相似维数Ds定义为:

(2)Hausdorff维数。如果U为n维欧氏空间Rr中的任何非空子集,则Hausdorff维数DH定义为:

式中N(δ)表示直径为δ的δ覆盖{Ui}的个数。

(3)信息维数。在Hausdorff维数DH的定义中,只考虑了所需δ———覆盖个数N(δ),而不考虑每个覆盖Ui中所含分形集元素的多少。设Pi为分形集的元素属于覆盖Ui中的概率,则信息维数为:

(4)关联维数。若分形中某两点间的距离为δ,其关联函数为C(δ),则关联维数为:

式中:

(5)盒维数。设F是Rn上任意非空的有界子集,Nδ(F)是直径最大为δ,可以覆盖F的集的最少个数,则F的下、上盒维数分别定义为:

如果这两个值相等,则称这个共同的值为F的盒维数记为:

另外,还有一些维数的测定方法,如容量维数、谱维数、填充维数、重正化群法、稳定分布法、因次解析法等。

1.2分形模型法

任何结构(系统)不规则复杂现象的产生,是由它所处的物理、力学等环境条件以及其微结构等因素所导致的,而从数学上考察,这仅仅是一种几何。基于这种思想,从实验观察和实际问题出发,根据其分形的特点,简化抽象为某一类数学分形模型,从其数学结构上计算出分形维数,由此探寻分形维数与物理量的关联,以揭示和预测结构(系统)的本征特性,或以此寻求解决问题的新途径。注意到这里是简化抽象,必然带来近似性,但使求解的问题变得简单。另一方面,抽象的分形模型是直接从实验观察而来,一般是最后一级非规则性和粗糙性的体现,即抽象的生成元(分形模型)是自然分形最后一级形成的抽象,而不是数学分形(无限步构造)中的生成元,可以无限地向前构造,如要把抽象的生成元进行数学构造也只能是逆过程构造。

1.3维象法

对于所研究的复杂结构(系统),总结或测定出分形的幂律关系,检验它是不是分形,如果是分形,由分形幂律关系得到其分形维,然后去寻找分维与物理量之间的相关联系。

1.4分形结构模拟

根据物体和结构的自然特性,人为地制造分形边界和分形结构,进行计算机模拟和实验观察,这样可直接了解到具有分形边界和分形结构的物体所表征的物理力学特性,进而探讨事物发展的分形机理。获取分维值的一般步骤为:首先拍摄结构(物体或系统)表面,以二维图像方式获取原始信息。接着“抽样”选取一定面积的图像,作为分析的对象。对“抽样”图像进行处理,得到结构(物体或系统)的特征量具体分布图像。然后采用不同的测量单元尺寸ε,对分布图像进行盒计数法计算,得到一系列规则图形的测量单元数N(ε)。最后作lnN(ε) ~lnε图,采用最小二乘法对图上N(ε)和ε对应的点进行拟合,得到斜率的负值D,即分维值。

2分形理论在岩土工程中的应用

尽管岩石力学学科创建已逾半个世纪,在经典力学理论的框架下繁演了诸多的理论模型,但面对复杂的工程岩体材料仍显得无能为力,计算结果与实际相差甚远,现有的连续介质力学理论和离散介质力学理论,均不能很好地描述这种特殊的介质。

2.1土的微结构分形

土的工程性质与土的物质成分、微结构密切相关。在物质成分研究中,粒度成分常起较大的作用,决定了土的渗透、变形、强度等物理力学特性,因而粒度(颗粒级配)常作为土工程分类的主要指标。刘松玉、胡瑞林等研究表明:土的颗粒分布表现为分形特征。在分析中,采用统计自相似性原理来计算分维,通常以小于某一粒径的颗粒的累计数目N(≤r)来刻划其分布特征,即:

或

式中D为粒度分维。上式与容量维定义一致。它反映了颗粒的均一化程度。D值越大,则均一化程度越差。计算结果表明,我国某地区土的粒度分维为:膨胀土0. 88~1. 22,软土1. 37~1. 45,天然黄土0. 82~1. 27。

2.2节理表面的分维

岩体力学中,节理表面形貌特征是控制岩体力学性态的重要因素。以前用节理面的平均起伏角和表面粗糙度系数JRC来表征。研究表明,节理面是在天然地质过程中形成的,具有随机性,其纵剖轮廓线的高低起伏变化表现为统计自相似性,具有分形特征。

2.3分维和岩石质量系数的关系

岩石质量系数(RQD)是对岩体中节理分布密度的评价,其值越大,表示岩石质量较好,节理分布较稀疏。文献认为,以节理间距x为横坐标,间距大于x的节理条数N(x)为纵坐标,取对数后整理回归统计,发现lnN(x)与lnx之间存在显著的线性关系,即节理间距分布符合统计自相似性质。有:

进一步推导出了节理间距服从负指数分布时,RQD值与Df间的关系为:

2.4分形损伤

类似岩石的脆性材料与结构,在宏观裂纹出现之前,已经产生了微观裂纹或微观空洞,将材料与结构中的这些微观缺陷的出现和扩展称为损伤。实践证明,宏观裂纹出现之前,损伤已经影响了材料与结构的强度及寿命。

分形领域的研究表明,材料损伤演化过程是一个分形,分形维数是反映材料损伤程度的某一特征量;不同载荷阶段下脆性材料的损伤场,分形维数不同;材料的损伤演化表现出统计自相似性特征;在比例加载下,无论什么材料,宏观裂纹顶端的损伤区形状和范围大小,随时间是以一个时空函数的相似比变化的,大部分材料的损伤区是以自相似方式演化的;从微裂纹的分布,单一裂纹的扩展,到材料损伤的演化规律,处处都可发现分形损伤的特征和行为。

2.5分形断裂

断裂表面是材料断裂后留下的关于断裂过程的记录,断口蕴藏着关于断裂机理的信息,通过研究断裂表面可以追溯断裂产生的机理,发现材料的微结构组成和缺陷。而今,岩石材料的断口分析已成为材料科学和断裂力学研究中的一个重要方向。

分形理论领域的研究表明,岩石断裂表面可以用多重分形或各向异性的自相似性分形来准确描述;岩石断口表面可以看成统计自相似分形,可以用分形来定量地刻划断口表面的粗糙性;岩石断口表面的分维与材料断裂韧度的关系是负相关的,即材料断裂韧度随分维值的增大而降低;岩石材料断裂后,断裂表面表现出来的不规则性,反映了在断裂时损伤断裂的能量耗散及微结构效应,根据断口的分维可追溯到岩石断裂时的宏观力学行为。

3.结语

分形理论的引入及其与常规方法紧密结合,互相渗透,弥补了后者的局限和缺陷,从而使岩石力学的理论和解决问题的技术手段得到了丰富和完善。该学说不仅在理论上将岩石宏、细、微观理论研究统一在新的理论体系之中,也为解决岩石力学理论与工程实践中的难题开创了新思想和新路线,在理论岩石力学领域充分论述和研究了分形的应用。采用分形的任何部分等于其原始分形的局部放大这一理论,有力地论证了岩石力学中的复杂几何图形及整个运动规律,同常规极其简单、且不太切合实际的指导方法形成了鲜明的对比。

参考文献:

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[2]杨红禹,许宏发.岩土工程中的分形理论及研究进展[J].地质与勘探,2003,39:98-99.

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