本征值问题的修正傅里叶级数解

李红艳, 万钟林

(1. 东莞理工学院 城市学院 计算机与信息科学系, 广东 东莞, 523106; 2. 东莞职业技术学院 财经系, 广东 东莞, 523808)

本征值问题的修正傅里叶级数解

李红艳1, 万钟林2

(1. 东莞理工学院 城市学院 计算机与信息科学系, 广东 东莞, 523106; 2. 东莞职业技术学院 财经系, 广东 东莞, 523808)

为了使本征值问题的求解更加完善, 利用Iserles在2008年提出的修正傅里叶级数的三角基函数, 使数学物理方法中的分离变量法成为一个全新的求解方法. 利用这一方法对一类定解问题进行求解, 最终得到了该问题的修正傅里叶级数解, 验证了所提出的新方法的正确性.

偏微分方程; 分离变量法; 级数解

对于偏微分方程的求解方法, 前人已经提出很多严密的理论. 法国数学家傅里叶提出的傅里叶级数极大地推动了偏微分方程理论的发展. 而傅里叶级数法作为求解定解问题的经典理论已经得到了广泛的应用.而由Iserles在2008年提出的修正傅里叶级数更丰富了前人的理论. 下面通过修正傅里叶级数的三角基函数求解一类定解问题.

数学物理问题中有这样一类定解问题[1]：

左边是修正的傅立叶正弦级数, 这提示我们把右边也展开为修正的傅立叶正弦级数. 其实, 右边已经是修正的傅立叶正弦级数了, 它只有一个单项即n=1的项. 于是, 比较两边的系数, 分离出的常微分方程：

又把u( x, t)的修正傅立叶正弦级数代入初始条件, 得：

其中, φn、ψn分别为φ( x)和ψ( x)的修正傅立叶正弦级数[以sin[(n-1/2)πx/ l]为基本函数族]的第n个……