基于AOA降维和同心圆定位的三维传感器网络节点自定位方法*

蒋 鹏，覃 添，陈岁生

(1.杭州电子科技大学信息与控制研究所，杭州310018;2.杭州职业技术学院友嘉机电学院，杭州310018)

无线传感器网络自20世纪90年代起源并应用于军事以来，在军事、环境监测、智能家居、工业控制及救灾抢险领域均有良好应用[1]。无线传感器网络系统依靠监测区域内大规模的传感器节点以无线通信方式传回的信息来进行工作，在传感器节点所传回的信息中，无线传感器网络系统将节点监测信息打上地理标签来实现虚拟无线网络与现实物理的位置连接。因此，节点的定位信息是整个传感器网络的关键信息。

传感器节点自定位方法一直是传感器网络的重点研究方向。监测区域中分布着大量的传感器节点，无线传感器网络系统依靠这些传感器节点的初始位置、移动方式、信号强度及网络拓扑结构等多方面推断各未知节点的位置信息[2－3]。虽然无线传感器网络在二维平面内已有多种成熟的定位方法，但三维空间中传感器节点的相对位置、移动方式、网络拓扑结构对比二维空间均发生改变，因此现有的二维平面定位方法难以直接应用于三维空间中[4－5]。

目前二维平面的定位方法多依靠测距信息与非测距信息定位。在基于测距信息中的定位方法，传感器节点传播的信息为可直接测量距离的信号，如基于信号强度的RSSI信息，基于信号到达时间的TOA信息，基于信号到达时间差的TDOA信息及基于节点间角度的AOA信息，上述技术需要硬件支持，具有网络通信简单、锚节点密度需求低等优点。而非测距信息中传感器节点传播的信息均为不可直接测距的信息，未知节点的位置依靠锚节点与未知节点间相对位置信息得出，如DV-Hop算法、APIT算法、MDS算法及质心算法等[1]。该类技术不需要特殊的硬件支持，传感器节点成本较低，但其网络通信具有一定复杂度。将二维平面定位方法拓展至三维空间是现有三维空间定位方法的来源之一，如王丹提出的3D-DV-Hop算法、3D-APIT算法及3DCentroid[6]，这些三维算法原理与相应二维算法基本相同，在此不在赘述。文献[7]中提出了一种二维的同心圆算法，简称CAB算法，该文献通过对无线信号传播模型的分析证明了CAB的可行性，阐述了同心圆定位两种基本思路，一种为同等区域方法简称为CAB-EA算法，一种为同等宽度方法简称为CAB-EW算法，这两种算法的仿真结果表明，在相同空间模型中CAB-EA与CAB-EW的定位误差均小于APIT算法与质心算法的定位误差，其中CAB-EW的定位误差最小。朱红霞提出的DRFP-3D定位算法[8]，该算法是由二维平面的同心圆算法延伸至三维空间的三维同心圆定位算法，DRFP-3D算法提出了一种基于最小正方体投票机制，即先将监测区域离散成有唯一编号的小正方体，再利用同心圆定位信息对小正方体进行编号，最后由投票机制算出未知节点的位置信息。在现有的三维传感器网络定位技术中，也有许多以三维空间特性为研究基础的定位方法，如C.Tian提出了一种水下环境的三维节点定位方法[9]，该算法利用声波在水下传输的特性提出了一种水下TDOA算法，该算法对声波在水中的传播模型及无线信号传播模型进行了分析。王怿针对水下环境中无线信号传播的高延迟及水下环境中可能存在的异形空间提出了一种基于水下环境的传感器节点定位方法[10]。M.Talha Isik也提出了一种水下环境无线传感器节点定位方法[11]，该方法中锚节点为浮标节点可自主调节自身水下深度并利用锚节点与未知节点间AOA信息进行定位。Liqiang Zhang提出了Landscape-3D算法[12]，该方法中利用功能强大的飞行锚节点周期性广播自身位置并接收未知节点的相对位置信息来定位。Chia-Ho Ou提出的Ou-3D算法[13]同样使用了功能强大的飞行锚节点，利用飞行锚节点在未知节点通讯范围内临界信标信息进行定位。E.Guerrero提出了一种基于方位角的区域定位算法(Azimuthally Defined Area Localization Algorithm，3D-ADAL 算法)[14]，该算法中也使用了功能强大的无人机锚节点同时无人机上自带定向无线天线可以设定角度广播无线信息。

本文基于同心圆定位方法[7－8]与 AOA角度测量方法[15]，提出了一种基于AOA降维和同心圆定位的三维传感器网络节点自定位方法(AOA and Concentric Algorithm based three dimensional reduction node self-localization scheme，AC-RL)。该方法创新地引入AOA技术将节点坐标信息中z轴信息转化为角度信息，该算法与文献[2]所提出DRFP-3D算法相比优化了锚节点的分布区域，锚节点只需分布在同一水平面算法即可进行，同时AOA技术得引入使AC-RL方法只需更少的锚节点即可达到与三维同心圆算法相同的定位误差，从而降低了锚节点密度。在求出角度信息后用同心圆定位方法在二维平面内求出节点坐标信息中x轴与y轴信息，此步骤与三维同心圆算法相比减少了在三维定位空间中的算法复杂度。

本文以下第1部分将会对两种算法进行详细的介绍，包括AC-RL算法的数学原理与算法流程。第2部分对两种定位方法的相对定位误差及通讯能耗两方面进行了比较，并从锚节点数目、信号发射级别、锚节点运动状态三方面对算法的相对定位误差进行了分析。最后对全文进行了总结。

1 算法原理与算法描述

1.1 三维同心圆定位

三维同心圆定位首先确定绝对坐标系，并将整个监测区域离散成若干个独立的小立方体，如传感器网络所在的区域为50 m×50 m×50 m的立方体，将立方体分为12 500个独立的小立方体，每个小立方体有独立且唯一的编号Ui(x，y，z)，小立方体的边长称为空间最小分辨率(Minimum space resolution，MRC)，网络建立时对监测区域的离散。然后，锚节点开始广播信息，在同心圆定位方法中，锚节点具有控制自身发射功率的能力，在自由传播环境中，信号的发射功率与信号所覆盖的区域半径之间的关系可用式(1)描述:

其中，Ps为信号发射功率，Pr为信号被接收时的功率，f为发射频率，c为光速，d为信号发射处到信号接收处之间的距离，由式(1)可以看出，当信号的接收功率一定时，信号的传播距离与信号发射功率成正比。三维同心圆定位正是利用了这一特点，将发射功率设置成不同的级别，对应信号不同的发射级别I(I的级别由低到高依次为I1、I2…In)，I越高，信号的发射功率也就越大信号传播的范围就越远。将信号发射级别细分后，信号覆盖范围同时也被划分，每一发射级别I对应其极限传播距离d，信号的传播范围便被分为数个以锚节点坐标为圆心，Ri－1为内径、Ri为外径的球壳型区域。当锚节点开始广播自身信息之后，未知节点开始接收锚节点信息，每个未知节点监听多个锚节点的广播信息，当监听到的锚节点数超过预先设定的阈值N时算法开始运行，在多次仿真下得出当N取3时各节点就可开始计算，根据锚节点广播的数据，可以得出未知节点的坐标范围为:

式(2)中，(xi，yi，zi)为相应锚节点坐标、半径范围(ri，ri+1)(i=a，b，、、，e，、)为该锚节点的通信覆盖范围。得出坐标范围后，只需将最先离散出的12500个小立方体代入式(2)中，得出满足式(2)的点集，再对点集求质心，可确定未知节点坐标。

从上述算法原理可以看出，三维同心圆算法由各未知节点独立执行，未知节点间的定位互不干扰，当前网络部署发生变动时，只需对变动节点重新定位即可，同时定位过程简单，网络组网完成后锚节点部署完毕即可开始执行算法。然而该算法也存在一些缺点，三维同心圆算法在开始时需选择最小分辨率然后离散化整个监测区域，此步骤导致算法时间复杂度为O(n3)，n为监测区域立方体边长与最小分辨率的比值，当监测区域立方体边长为50 m及最小分辨率为1 m时算法时间复杂度为O(12 500)，若立方体边长变为100 m且最小分辨率不变时，时间复杂度为O(1 000 000)，若监测区域立方体边长继续增大，算法时间复杂度O则继续以立方倍增长，从而使算法计算量过大，进而影响到系统的响应时间及数据精度;若监测区域立方体边长继续增大且最小分辨率亦增大时，最小分辨率的增大将导致三维同心圆算法中参与投票的小立方增大，进而影响到算法的定位精度。本文针对这此点对三维同心圆算法进行改进提出AC-RL算法，下文将详细说明AC-RL算法原理。

1.2 AC-RL 定位

AC-RL定位方法分为三个阶段。首先获取未知节点与相应锚节点之间的角度信息[10];然后对三维信息降维处理，最后利用同心圆算法定位未知节点。

首先锚节点需测出未知节点和锚节点的连线与锚节点所在水平面之间的夹角，锚节点的内部构成如图1所示。

图1 三维AOA原理图

锚节点S由5个发射节点P0至P4构成，P1P2与P3P4的长度为一定值L，L一般取固定值，P1P2与P3P4的夹角成90°，P0位于两线段的中点。

从P1到A之间的距离L1由RSSI测距测出，同理分别测得P2到A的距离L2，P3到A的距离L3，P4到A的距离L4。利用余弦定理可以求出，所得结果为。又因为P为两线段中点，可求出AP00的长 度，由此可求得AP0在坐标系中与 X轴夹角即 AP0与P1P2的夹角∠AP0P2(θ)，cosθ=，AP0在坐标系中与Y轴夹角即AP0与P3P4的夹角，则可求得 AP0在平面 P1P2P3P4内的投影 P0N长度为，将上述公式化简可得AP0与平面 P1P2P3P4的夹角

发射节点P0广播同心圆定位信息，广播的信息如表1所示。

表1 锚节点广播信息

当未知节点监听到的锚节点数目达到3个以上时，未知节点开始对锚节点的广播信息进行降维处理，由于三维空间中AOA投影图较复杂，本文用二维空间中AOA投影图代替。

图2 AOA投影图

如图2所示，O为信号传播范围的圆心即锚节点所在位置，线段Ri－1Ri为未知节点可能所处的范围，若未知节点与锚节点O的连线与X轴所成角度γ已知，则未知节点在x轴的投影范围为:di－1di=Ri－1Ri·cosγ。

同理根据未知节点与锚节点的连线与锚节点所在水平面所成的夹角γ，信标信息的覆盖范围(Ri－1，Ri)，便可得出三维空间中未知节点在水平面上的投影圆环范围为:

式(3)中(xi、yi)为锚节点在X与Y轴上的坐标，未知节点将监听到多个锚节点信息，由式(2)，(3)可得出未知节点在水平面上投影点的大致区域，对所得区域求质心便可得到未知节点在水平面上的投影点D(xN，yN)，利用三角定理求出未知节点在z轴的坐标(γSi为未知节点和锚节点Si的连线与锚节点所在水平面的夹角)，即未知节点坐标全部求出。

从AC-RL算法原理中看到，引入了AOA技术后，算法将未知节点的z坐标信息保存在角度信息中，使得三维空间中的定位转化为二维平面上的定位，因此避免了监测空间离散化在三维空间中进行，而二维平面中离散区域为平面，此时算法基于时间复杂度为O(n2)，这样就避免了DRFP-3D算法中由监测区域的扩大而导致的算法时间复杂度的大幅增加。同时三维定位空间定位转化为二维平面定位后，影响定位精度的信息变由X轴、Y轴及Z轴变为X轴、Y轴信息及AOA角度信息，在后续的算例仿真表明角度信息精度取3%之内时AC-RL算法比DRFP-3D算法提供了更精确的z坐标信息。

1.3 算法流程

锚节点随机分布在水平面上，未知节点随机分布在监控区域中，锚节点组编号为 S1、S2、S3…Sn，每个锚节点由P0至P4五个发射节点组成，未知节点编号为 A1、A2、A2…Am，且任一未知节点 Aj(1≤j≤m)能接收到k(1≤k≤n)个锚节点的信息。

算法步骤如下:①选取任意一未知节点Aj(1≤j≤m);②锚节点Si(1≤i≤n)的P1至P4四个发射节点周期性地广播测距信息。P0发射节点周期性地广播同心圆信息，信息类容如表1所示，锚节点组成如图1所示;③未知节点Aj(j初始值为1)接收到Si中P1至P4的测距信息，计算出Si与A1的AOA信息tanγS1，同时Aj接收到Si中P0广播的同心圆信息，将功率级别I最低的信息判定为真。将二者信息存入Aj的信息表中;④未知节点Aj(j初始值为1)接收锚节点Si+1到Sk(i≤k≤n)的信标信息复步骤②与③;⑤当Aj接收完Si至Sk的锚节点信息后，若未知节点监听到的锚节点数大于等于3开始计算未知节点在水平面上投影可能存在的范围后，用同心圆算法求出投影点位置信息。若未知节点监听到的锚节点数小于3则跳过⑥步骤，且A'j取空集;⑥结合未知节点Aj对应锚节点Si的AOA信息tanγSi可得出未知节点坐标A'j;⑦重复①至⑥直到未知节点坐标均被求出。

2 仿真算例

本节在DRFP-3D算法与AC-RL算法在参数配置相同的情况下进行了相对定位误差与总能耗的对比，另从锚节点个数、信号发射级别I及锚节点移动三个方面对相对定位误差的影响进行了比较。

仿真参数配置:监测区域为50 m×50 m×50 m的立方体，最小分辨率MRC=1 m，锚节点极限通讯距离为50 m，信号发射级别I分为5级，每一级对应应10 m的通讯距离，定位判决门限值DT为3，仿真开始前，配置以上所有参数，锚节点个数为AH，未知节点个数为UN，AOA角度信息取自文献[10]，误差设定为3%。相对定位误差公式为:，A'i为未知节点估算坐标，Ai为未知节点实际坐标，|A'i－Ai|为未知节点与其估算位置之间的距离，d为锚节点最大通信半径。

图3所示算例中AH=27，UN=200，锚节点随机分布在水平面，未知节点随机分布在监测区域，信号发射级别I=5。从图3中可得，AC-RL定位方法的相对定位误差有着明显的降低。且通过20次独立实验得出AC-RL定位方法的平均相对误差在5.4%～7.2%之间，而三维同心圆定位方法的平均相对误差在13.8% ～19.7%之间。该数据表明引入AOA技术后AC-RL算法的相对定位误差有较大降低。原因在于利用同心圆算法处理三维定位问题时未知节点在X轴、Y轴及Z轴上的位置信息均相互影响。而AC-RL定位方法利用AOA技术将Z轴信息转化为角度信息保存下来，使三维定位问题的处理转化为二维定位问题的处理，则影响定位精度的信息变成了X轴、Y轴信息及AOA角度信息，即AC-RL算法中X轴与Y轴间相互影响变小，且角度信息精度在3%之内时提供了更精确的z坐标信息。

图3 DRFP-3D算法与AC-RL算法相对误差图

图4对比当锚节点数量变化时对DRFP-3D算法与AC-RL算法中相对定位误差变化趋势的影响。仿真算例参数配置为UN=400，锚节点随机分布在水平面，未知节点随机分布在监测区域，信号发射级别I=5。从图4中可知当AH≤15时AC-RL算法相对误差较大，AH≤25时三维同心圆算法相对误差较大，但是相同锚节点数目下AC-RL定位方法的相对定位误差依旧低于DRFP-3D算法的相对定位误差，随着锚节点的数目增多，定位误差以很快的趋势下降，当锚节点增多到一定值时，锚节点数目对定位误差的影响开始降低。AC-RL算法与DRFP-3D算法均为典型的分布式算法，即网络内各未知节点的定位互不影响，根据锚节点位置信息即可定位。锚节点位置信息在两种算法中为影响定位结果的重要指标，当锚节点数量上升时，未知节点可获得更多有效的定位信息，所以DRFP-3D算法与AC-RL算法的定位误差均有降低，而AC-RL算法中引入了AOA技术使得未知节点z轴坐标信息转化为角度信息，使AC-RL算法与DRFP-3D算法相比只需更少的锚节点数目即可完成定位。

图4 相对定位误差随锚节点数AH变化的关系图

图5，图6以锚节点通讯级别I变化的角度来比较DRFP-3D算法与AC-RL算法中的可定位节点比例与定位精度。仿真算例参数配置为AH=27，UN=400，锚节点随机分布在水平面，未知节点随机分布在监测区域，信号发射级别I从1至5逐步变化。由图5可以看出，当I从1变化至4时，DRFP-3D算法与AC-RL算法的仿真算例中可定位节点比例都呈上升趋势，但DRFP-3D算法的可定位节点比例始终高于AC-RL定位方法的可定位节点比例。其原因在于，图5中监测区域为50 m×50 m×50 m的立方体，信号发射级别I由1至5逐步变化时锚节点通信范围对应10 m至50 m逐步变化，在变化初始阶段锚节点的通信范围无法完全覆盖整个通信区域，则区域内会存在某块区域未被三个锚节点或更少个锚节点覆盖，此时未知节点所监听到的锚节点数目不能满足门限值DT=3的要求，即不能触发执行定位算法，则在该区域内所存在的未知节点为不可定位节点。而DRFP-3D算法中锚节点是随机分布在监测区域内，AC-RL定位方法中锚节点却是分布在监测区域底层水平面上，当锚节点数目一定且通信半径较短时，AC-RL定位方法中锚节点信息所覆盖的区域要小于DRFP-3D算法中锚节点信息所覆盖的区域，而I级别较高时，即I大于5时，两种定位方法中的可定位节点比例均为100%。

图5 可定位节点比例随信号发射级别I变化的关系图

图6 相对定位误差随信号发射级别I变化的关系图

图6所示算例参数配置为AH=50，UN=400，I由1至5逐步变化。从图6可看出，在I为1时，DRFP-3D算法与AC-RL算法的定位精度相差不大，可近似于相等。随着I的增大，当I=2时DRFP-3D算法与AC-RL算法的相对定位误差均开始下降。当I由2增大至5时，DRFP-3D算法的相对定位误差开始缓慢下降，下降趋势不如I由1增大至2时明显，此时AC-RL算法的相对定位误差依旧保持着之前的下降趋势。I由4增大至5时三维同心算法的定位误差还有着明显下降，但AC-RL定位方法的定位误差此时已无明显下降趋势。其原因在于，当I=1时两种定位方法的锚节点通讯半径均为10 m而监测空间为50 m3，存在许多区域未能被多个锚节点覆盖，即使有些未知节点处于被多个锚节点覆盖的区域，此时通讯半径只有I=1一个级别，同心圆算法中同心圆分级概念无法成立，算法计算方式为质心算法，此时定位绝对误差均在3.5 m左右。当I为2时，两种定位方法的定位绝对误差在4 m至5 m之间，但相对定位误差还是下降了。DRFP-3D算法中定位误差大幅下降是因为通讯半径分级后，可利用半径分级的信息将未知节点可能存在区域进一步细分，从而减少了相对定位误差。当I由2变化至4时，三维同心圆算法的定位误差下降缓慢，这是因为在I由1变化至2时，该算法等同于三维质心算法朝三维同心圆算法变化的过程，而由2变化至5时才体现出三维同心圆算法由于通讯半径的增加引起的定位误差变化。在I由1增大至2时，AC-RL算法中，也因利用半径分级的信息区分出未知节点最可能存在的区域使未知节点相对定位误差下降，在I继续增大后由于AC-RL定位方法引入AOA测距技术，使得在半径持续增大时将三维球壳信息简化为二维圆环信息，使得Z轴坐标信息得以较精确保存，使该定位方法相对误差下降的趋势得以保持。而在I=4时，AC-RL定位方法中相对定位误差的极限值，所以在由4变化至5的过程中无明显变化。

图7为DRFP-3D算法与AC-RL算法的通信能耗比较，该算例配置为UN=500，AH由小到大变化，推导公式如下。

无线信号在三维空间的传播过程中运行发送器或接受器的无线花费为:

图7 通信能耗随锚节点个数AH变化的关系图

发送放大器实现容许放大倍率的无线花费为:

三维空间内传感器节点i、j间的距离为:

若节点i向j发送长度为kbit的数据包，则节点i能耗为:

节点j接收此数据包的能耗为:

在DRFP-3D算法中，每个锚节点均要按自身发射级别I(I=5)广播5次信息，每次广播的数据包长度均为k，则耗能为:

若每个未知节点可监听到n个锚节点，则每个未知节点的接收能耗为:

Ii为相应锚节点自身发射级别，Erx(k)为单个节点接受数据能耗。

则DRFP-3D算法总能耗应为:

在AC-RL算法中，每个锚节点先需发射4个测距信息，再将自身信息按发射级别I(I=5)广播5次，则每个锚节点的发射能耗为:

同理，若每个未知节点可监听到n个锚节点，则每个未知节点的接收能耗为:

AC-RL算法的通信总能耗为

在锚节点实际工作中广播信息长度一般为一定值，即在AC-RL定位方法中测距信息信标长度k与同心圆信息信标长度k相等，则可得出图7。

如式(11)与式(14)所示，AC-RL算法中锚节点的通讯方式比其在DRFP-3D算法中多出4组测距信息。式中的n为相应锚节点可监听到的n个未知节点，其具体数值由仿真中节点具体分布情况决定。实际计算得出在相同网络规模下，AC-RL算法将比DRFP-3D算法消耗更多能量，能耗大致为原算法的2.5倍 ～3倍。

图8为当AC-RL算法中锚节点为移动状态时相对定位误差的比较，在该算例中AH=9分布在监测区域水平面上并以0.5 m/s速度在水平面上随机移动，每隔10 s传感器网络进行一次节点定位，UN=200随机分布在监测区域内，I由1至5逐步变化。t1为锚节点初始状态时未知节点相对定位误差，t2为锚节点移动一次后未知节点相对定位误差，t3为锚节点第二次移动后未知节点相对定位误差。在t1时传感器网络中锚节点还未开始移动，整个网络中只有9个锚节点位置信息可以用于定位方法，t2时锚节点已随机移动5 m相当于网络中锚节点位置重新分布，但由于未知节点位置未发生改变则t1时刻的锚节点位置信息同样为有效信息，即在t2时刻网络中有效锚节点位置信息变为了18个，这导致t2时刻定位方法中相对定位误差大幅下降。同理t3时刻时，网络中有效锚节点信息变为27个，此时未知节点平均定位误差在3%左右已接近AC-RL算法中相对定位误差的极限值。

图8 AC-RL算法中相对定位误差随锚节点移动次数变化关系图

3 结语

本文基于无线传感网络中的DRFP-3D算法，提出了一种AC-RL定位方法，该算法根据未知节点与锚节点所在水平面的角度信息，对锚节点与未知节点间的距离信息进行降维处理，使三维定位的需求转变为二维定位，使得在相同参数配置下AC-RL定位方法的定位精度有着明显提高，且在相同定位精度的情况下，AC-RL定位方法降低了对锚节点数量的需求。

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