矢量场环量强度方向特性的一种证明过程

徐慧婷，焦重庆

(华北电力大学电气与电子工程学院，北京102206)

0 引言

旋度是“电磁场”课程中一个非常重要的基本概念［1］。由于定义比较抽象且数学描述复杂，旋度这一知识点属于“电磁场”课程中的难点内容之一。通常，《电磁场》教材引入旋度的逻辑顺序为:矢量场的环量(闭合曲线积分)—环量强度(或环量面密度)—环量强度的方向特性—旋度—斯托克斯定理。其中，比较关键的就是环量强度的方向特性:环量强度可以表示成某一待定矢量(即后来的旋度)与环路法向单位矢量的点积。环量强度与旋度的关系类似于方向导数与梯度的关系。

在环量强度的方向特性上，《电磁场》教材上主要有两种论述方式:①直接陈述，不加以证明;②以斯托克斯定理为基础。

具体来说，方式①并没有证明方向特性，而是以方向特性为已知来引出旋度并求解旋度的表达式:在直角坐标系下，分别考虑与三个坐标轴相垂直的三个微小矩形回路，依据环量强度的定义分别求出上述三个特殊矩形回路下的环量强度。这三个环量强度可以分别看成旋度在三个坐标方向的三个分量，或者说，将这三个分量组合成的矢量便是旋度［2-5］。方式②以“高等数学”课程中已证明的斯托克斯定理为基础(该定理的证明不需要借助旋度的概念)，通过该定理将环量强度定义式中的环路积分转换成面积分，进而可直接得出环量强度的表达式和方向特性［6-7］。

从理解上来说，方式②是一种不错的选择，只不过它与电磁场教材中更偏好的“环量—环量强度—旋度—斯托克斯定理”逻辑顺序，即把斯托克斯定理当作旋度的后续导出内容的逻辑顺序相背而已。……