模糊理想的非标准分析方法研究

史艳维，马春晖

（1.西安培华学院 基础部，西安 710125；2.西安建筑科技大学 理学院，西安 710055）

1 引言与预备知识

自上世纪60年代C.L.Chang［1］以L.A.Zadeh［2］的模糊集理论为骨架引入模糊拓扑空间的概念以来，经过近半个世纪的发展，模糊拓扑学已经成为了一门不同于一般拓扑学［3］的新的研究领域。

由于模糊集合自身的特点，在研究模糊点的邻近结构的过程中，传统的邻域是不可取的［4］。虽然在文献［5］中蒲保明和刘应明提出了重域的概念，在一定程度上解决了这一问题，但王国俊在文献［4］中所提到的远域更广泛地被人所接受。一个模糊点的远域系恰恰是一个模糊理想，因而对模糊理想的进一步研究是非常有必要的。

本文将在非标准扩大模型下，借助非标准分析方法研究模糊拓扑空间中模糊理想的性质。首先，通过非标准扩张，将模糊集合扩张为非标准模糊集合，提出模糊理想单子的概念。其次，借助模糊理想单子，给出模糊拓扑空间中模糊理想的极限点和聚点的非标准刻画，讨论两者之间的关系。最后，利用非标准刻画，讨论模糊理想与模糊网之间的联系。

先来回顾一些非标准分析理论中的基本概念，详细内容可以参见文献［6-8］。

设S是个体集，归纳定义：

其 中 2Vn(S)表 示 Vn(S)的 幂 集 ，称为个体集S的超结构。

定义1 设个体集S是无限集，如果映射*：V(S)→ V(*S)满足以下条件：

（1）对于所有s∈S，*s=s；

（2）转换原理成立，即|=α当且仅当|=*α，其中α是LV(S)中的有界量词语句，*α是将α中的常量c替换为*c得到的LV(*S)中的有界量词语句；

（3）共点原理成立，即对于任意的V(S)中的共点关系 r，存在 y∈V(*S)，使得