具有时滞和间接控制的捕食-被捕食模型的分支分析

徐昌进,张千宏

(贵州财经大学经济系统仿真重点实验室,贵州 贵阳 550004)

具有时滞和间接控制的捕食-被捕食模型的分支分析

徐昌进,张千宏

(贵州财经大学经济系统仿真重点实验室,贵州 贵阳 550004)

研究了一类具有时滞和间接控制的捕食-被捕食模型.选择时滞τ为分支参数,证实了系统在一定的时滞范围内是渐近稳定的.当时滞τ通过一系列的临界值时,Hopf分支产生,即当时滞τ通过某些临界值时,从平衡点处产生一簇周期解.最后,用数值模拟验证了理论分析结果的正确性.

捕食-被捕食;Hopf分支;稳定性;间接控制

1 引言

近年来,具有时滞的种群模型的动力学行为(包括稳定性、不稳定性、周期性和混沌等)已经成为生物学和数学界研究的焦点问题.特别是因时滞引起的Hopf分支周期解吸引了诸多学者的兴趣.自从文献[1]发现了时滞会破坏Logistic模型的正平衡点的稳定性并引起周期振荡以来,已有大量的文献研究时滞,导致了生态模型的Hopf分支的出现,并得到了诸多很有指导意义和现实价值的结果[2-8].文献[9]研究了下列具有变时滞和间接控制的捕食-被捕食模型的全局渐近稳定性:

本文的主要目的是研究模型(2)的Hopf分支.具体地说,就是选择时滞τ为参数和运用Hopf分支定理,分析系统对应的特征方程,得到了系统渐近稳定和Hopf分支产生的条件.证实存在一系列的临界值,使得系统在平衡点附近产生Hopf分支.

2 Hopf分支的存在性

3 数值模拟

图1 当τ=2.1＜τ0≈2.2时,系统(10)的轨线图和相图.正……