弱耗散抽象发展方程全局吸引子的存在性

王春梅,汪璇,钟承奎

(1.西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州 730070;2.南京大学数学系,江苏南京 210093)

弱耗散抽象发展方程全局吸引子的存在性

王春梅1,汪璇1,钟承奎2

(1.西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州 730070;2.南京大学数学系,江苏南京 210093)

采用定义泛函,忽略粘性阻尼项时,在特定空间中研究了弱耗散抽象发展方程,得到了该方程全局吸引子的存在性结论,丰富了该类方程全局吸引子存在性的证法.

弱耗散抽象发展方程;记忆核;全局吸引子

1 引言

在有界域Ω⊂ℝ3上考虑弱耗散抽象发展方程

全局吸引子的存在性,其中参数θ∈(0,2],k(0),k(∞)＞0,且k′(s)≤0,∀s∈ℝ+.

关于通常的抽象发展方程:

系统能量耗散通过阻尼项和记忆项实现,而我们研究的方程(1)在该方程基础上去掉阻尼项,则能量耗散减弱.由于去掉阻尼项,通常的抽象发展方程能量估计方法在此方程上无法直接使用,具体表现在能量估计中将无法用ut+σu作为试验函数来进行能量估计.本文通过定义泛函巧妙地克服了这项困难.

关于忽略粘性阻尼项的双曲方程前人已有所研究,并获得了全局吸引子的结果[1].但当算子为抽象算子时,关于忽略粘性阻尼项的抽象发展方程的讨论还很少.关于方程(1),本文研究了弱解的存在唯一性,并且,进一步证明了方程(1)对应的解半群的全局吸引子的存在性.

2 预备知识

设H=L2(Ω),b(u,v)为H上的连续的双线性型,且是对称和强制的.由此线性型联合H上的线性自伴无界算子A,其定义域D(A)⊂H,令(Au,v)=b(u,v),∀u,v∈H.设{λj}j∈ℕ,{ωj}j∈ℕ为A的特……