常微分方程数值计算的新方法—偏差分方法的理论与分析

孟波

(联科应用研究所,山东 济南 250031)

常微分方程数值计算的新方法—偏差分方法的理论与分析

孟波

(联科应用研究所,山东 济南 250031)

提出了一种新的常微分方程数值计算的方法,构建了一些新的计算公式.提出的新方法计算公式繁多,是一种值得研究的常微分方程数值计算方法.

偏差分方法;一阶偏差分;二阶偏差分;加权平均偏差分方法

1 引言与基本知识介绍

传统的常微分方程数值计算方法是建立在插值点的基础上[1-5].本文基于偏差分的概念提出了一种构建常微分方程数值方法的新思路,给出了一些具体的计算公式.本文的基本概念是偏差分,所以先介绍偏差分概念.本文只需要一阶和二阶偏差分.

由于连续函数的高阶偏微分与顺序无关,所以本文认为高阶偏差分也与顺序无关.当i/=j时二阶偏差分包括四种类型,即

2 偏差分方法的基本思想和相关公式推导

本文建立的偏差分方法由于是建立在偏差分概念基础之上的,所以称为偏差分方法,该方法的基本思想是用偏差分代替导数做近似计算.其基本思路如下:

设存在常微分方程初值问题

以上八个公式可分成三类,第一类是显式公式,包括(A2)式和(A4)式;第二类是隐式公式,包括(A1)式,(A3)式,(A6)式和(A8)式,其中(A1)式和(A3)式右边隐式项出现了一次,而且是出现偏差分中,称为单隐式公式,而(A 6)式和(A 8)式右边隐式项出现了两次,称为双隐式公式;第三类的最高项出现在右端偏差分表达式中,这是一类特殊的显式公式,称之为反向显式公式,包括(A5)式和(A7)式.

按照本文的思路可以构建更高阶偏差分方法中的公式,不过当阶数越高,偏差分方法的公式也会变得越复杂.限于篇幅本文以下给出二阶偏差分方法中的公式形式.

(2.9)式和(2.10)式是二阶偏差分方法的一般形式,可以根据不同的一阶偏差分和二阶偏差分构造具体的二阶偏差分方法中的公式.显然二阶偏差分方法中的公式也是有很多的.

3 常微分方程组的偏差分方法

4 加权平均偏差分方法

在传统的常微分方程的计算方法中,梯形方法是显式和隐式Euler方法的平均.但是平均方法还可以采用加权的方式构造,也可以采用多个公式求加权平均.以下给出加权平均方法的构造方法,不考虑(A 5)式和(A 7)式两个反向显示公式.先考虑零阶加权平均偏差分方法,设存在权重s,0＜s＜1.对(2.2)式两边乘以s,对(2.3)式两边乘以1-s.然后相加得到

按照这种思路构建的加权平均偏差分方法中(B7)式是显式平均公式.当s=0.5时可称为平均偏差分方法.以上的平均公式都是两个公式的加权平均,称为双加权平均公式.实际还可以把k个偏差分公式加权平均构建k加权平均公式.例如把三个公式加权平均得到三加权平均公式,把四个公式加权平均得到四加权平均公式,这样的公式形式繁多,限于篇幅本文在此不一一列举.当k≥3时,加权平均公式均为隐式公式.

5 偏差分方法稳定性分析

以下考虑一阶偏差分方法的稳定性.设存在实验方程y′=λy,λ＜0.

用相关的一阶偏差分公式解实验方程可以求出相应的稳定区域.由于实验方程不含x,所以一阶偏差分公式只有4个.(A 1)和(A 3)式合为一个,(A 2)和(A 4)合为一个,(A 5)和(A 7)合为一个,(A6)和(A8)合为一个.设hλ=h*.

把实验方程代入(A1)式或(A3)式得到:

6 数据计算

以下通过实际计算来观察偏差分方法的精度,为了方便起见,仅讨论一阶偏差分方法.传统方法的计算过程可参阅参考文献[6].

例2使用显式和隐式Euler方法,梯形方法,4阶Runge-Kutta方法以及一阶偏差分方法和加权平均法求解下列常微分方程初值问题:y′=x+y,y(0)=1,h=0.1,0≤x≤0.5.

本例有精确解y=-1-x+2ex.下面把以上方法的计算结果列表给出(见表1).

表1 例2方法的计算结果

使用一阶偏差分方法求解,相应的各公式计算格式如下:

本例中,(A 1)式和(A 3)式,(A 2)式和(A 4)式,(A 5)式和(A 7)式,(A 6)式和(A 8)式形式相同.对于(B0)式,取s=0.508.八个一阶偏差分公式和(B0)式的计算结果如表2所示.

表2 八个一阶偏差分公式和(B 0)式的计算结果

从本例看出,一阶偏差分方法中四个隐式公式(A1),(A3),(A 6),(A8)精确度跟梯形方法相当,两个显式公式(A2)和(A4)的精度也明显好过显式和隐式Euler方法,而(A5)和(A7)两个反向显式公式发散.显然由于反向显式公式的最高阶出现在右端函数中,而右端函数的前面需要乘以很小的h,这样可能出现最高阶前分母很小,从而造成发散.而加权平均方法只要选择了适当的权值,计算精度会好于梯形方法,甚至会好于标准4阶Runge-Kutta方法.

7 结束语

偏差分方法是在偏差分概念的基础上结合Taylor公式推导出的一种新方法,该方法与传统的线性多步法不同,因为线性多步法考虑的是步长上的点,而偏差分方法考虑的是偏差分.偏差分方法具有以下特点:一是形式简单;二是精度高,一阶显式和隐式偏差分方法均具有较高的精度;三是该方法中的公式形式多,可酌情使用.所以,偏差分方法是一种值得研究的新方法.

[1]郭大钧.大学数学手册[M].济南:山东大学出版社,1985.

[2]邓建中,刘之行.计算方法[M].2版.西安:西安交通大学出版社,2002.

[3]余德浩,汤华中.微分方程数值方法[M].北京:科学出版社,2006.

[4]李立康,於崇华,朱政华.微分方程数值方法[M].上海:复旦大学出版社,1999.

[5]王立秋,魏焕彩,周学圣.工程数值分析[M].济南:山东大学出版社,2002.

[6]王立秋,魏焕彩,周学圣.工程数值分析习题解[M].济南:山东大学出版社,2002.

Theory of partial difference method─ A new numerical method for ordinary differential equation

Meng Bo

(Lianke Application Institute, Ji′nan 250031, China)

This paper sets up a new numerical method for ordinary differential equation and gives some formulas of this method. This new method which has many specific formulars is worth thoroughly studying.

partial difference method, first-order partial difference, second-order partial difference,weighted average partial difference method

O241.81

A

1008-5513(2012)02-0186-10

2011-03-30.

联科应用研究所项目(201101).

孟波(1964-),高级工程师,研究方向:应用数学各分支.

2010 MSC:65L05