一类物价瑞利模型在小周期扰动下的Hopf分支

吕堂红，周林华

（长春理工大学 理学院，长春130022）

近年来，许多学者基于平均法［1］、多尺度法［2］、摄动法［3］和谐波平衡法［4］等方法研究了时滞微分系统的动力学行为，对滞后型泛函微分方程的周期扰动Hopf分支更是倍加关注［5－9］．上述方法［1－4］主要是针对一个正在产生Hopf分支的时滞微分系统，而加上外界微小的周期扰动后新的扰动系统的周期轨道将产生哪些新的运动规律，这正是本文需要探讨的数学问题．

目前，关于具时滞物价瑞利方程的研究已有很多结果［9－11］．笔者［10］曾利用指数多项式的τ－D 划分法讨论模型（0）平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性，给出了在（τ，γ）参数平面上的Hopf分支图；曹忠威［9］只讨论了l＝1时模型（0）的周期扰动Hopf分支问题，而对l≠1的情形未给予研究．为此，笔者将对文献［9］中的问题作进一步的推广，讨论l≠1时模型（0）的周期扰动Hopf分支的动力学性质．

1 物价瑞利模型Hopf分支的存在性

当β1＝0时，系统（3）线性部分的特征方程为

引理1［10］445若k0＝（sinσ0r）／σ0，σ0＝σ0（r）是方程σ2＝cosσr在（0，π／（2r））上的唯一解，则

1）方程（4）有一对共轭复根λ1，2＝α（μ）±iσ（μ），这里α，σ是实数，且α（0）＝0，σ（0）＝σ0＞0；

2）当μ＝0时，方程（4）的特征根除λ（0），¯λ（0）外，其余特征根皆有严格的负实部；

3）当β1＝0时，方程（3）在μ＝0时存在Hopf分支，若分支产生在μ＞0（μ＜0）方向，则方程（3）的分支周期解为上临界稳定（下临界不稳定）的．

2 物价瑞利模型周期扰动Hopf分支的存在性与稳定性

下面利用类似于文献［8］115－117的分析方法，讨论系统（3）在β1≠0时的分支情形．不妨设σ0为系统（3）的临界固有Hopf分支频率，于是必须考虑的问题是：当外界的周期扰动频率分别为σ0，nσ0，σ0／n，mσ0／n（m，n∈Z＋，m，n≠1且互质）时，系统（3）产生的周期……