单调递减序列的离散变换及其灰色建模

孔新海，刘志斌，魏 勇

0 引言

灰色系统理论自诞生以来,已在许多领域得到了广泛的应用,特别是在社会、经济预测等方面应用更为广泛。作为灰色系统理论重要内容之一的GM(1,1)模型,其应用价值在越来越多的领域中得到体现。从GM(1,1)模型建模机理来看,对递增离散点列x(0)，其一次累加生成序列x(1)是单调递增的，我们常直接建模即可；对递减离散点列x(0)，由于其一次累加序列x(1)也是单调递增的，其模拟值也是递增的，如果对进行累减还原，常常被认为会产生不合理的计算误差，因此很多学者通过各种变换，如：反向累加生成、倒数变换、线性变换，把递减序列变换成递增序列，再建立GM(1,1)模型。其实，递减序列也可以建立GM(1,1)模型，有时建模效果还非常好。本文在文献[1][2]的基础上，提出一种基于单调递减序列的离散变换，以期提高序列的光滑度。

1 基本概念

定义 1设序列 X={x(1),x(2),…,x(n)}，称 σx(k)=为序列X的级比；称δx(k)=|1-σx(k)|为序列X的级比偏差；称为序列X的光滑度。定义2若为两单调递减序列,且对∀k=2,3,…,n,有 ρa(k)＜ ρb(k),则称序列更光滑。

定理1对于单调递减序列 x(k)＞0,非负变换y(k)=F(x(k))满足不等式 ρx(k)＜ρy(k)的充要条件为F(x(k))可以表示为 F(x(k))=x(k)f(k)，其中序列 f(k)非负，且严格单调上升。

证明：先证充分性。由于x(k)、f(k)非负，且 f(k)严格单调上升，则对i=1,2,…,k-1，有

x(k)x(i)f(i)＜x(k)f(k)x(i)

两边对i求和，可得

即

从而

再证必要性。由

取k=2，得

x(2)/x(1)＜F(x(2))/F(x(1))

即有

F(x(1))/x(1)＜F(x(2))/x(2)

令 z(k)=x(k+1)，则

F(z(1))/z(1)＜F(z(2))/z(2)

显然有

F(x(2))/x(2)＜F(x(3))/x(3)

2 基于单调递减序列的离散变换

2.1 离散变换

定义3对于单调递减的原始序列X={x(1),x(2),…,x(n)}，进行离散变换y(k)=F(x(k))。

(1)若X为减速下降，即σx(1)＞σx(2)＞…＞σx(n-1)＞1，则变换算式为,d＞1,0＜s＜1。

(3)若X为加速下降，即1＜σx(1)＜σx(2)＜…＜σx(n-1)，则变换算式为：

令 φ(k)=(k+1)s-ks，当 σx(k)递减，则 φ(k)也要递减，即0＜s＜1；……