浅谈高等数学中定积分定义在教学中的妙用

徐 勇

（湖北经济学院 统计与应用数学系，湖北 武汉 430205）

一直以来高等数学中的定积分教学都是重点也是难点。重点在于从概念上它融合了微分以及平面几何的理解；从计算上又继承了一元函数不定积分的方法，是一个大综合的知识点；难点在于计算过程中既要注重结合一元函数不定积分的计算方法，又要结合积分区间的理解，很容易由于对变量取值范围的理解方式错误而计算出错。我们通常比较注重如何让学生掌握计算定积分的方法，但实际上，定积分的概念有极其重要的价值，它能让我们理解很多几何问题的结论是如何产生的。本文结合旋转体的体积以及空间中平行截面已知的立体体积的计算问题谈谈定积分定义的妙用。

首先我们简单回顾一下定积分的定义。描述如下：设f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点：a=x0＜x1＜……xn-1＜xn=b，把区间分成 n 个小区间：[x0，x1]，[x1，x2]，……[xn-1，xn]对应可以得到各小区间的长度值，故依次为：△x1=x1-x0，△x2=x2-x1，……△xn=xn-xn-1，在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点 ζi，作函数值 f（ζi）与小区间长度△xi的乘积 f（ζi）△xi作和式：Sn=f（ζi）△xi，记：λ=max（△x1，△x2，……△xn），如果不论对[a，b]采取怎样的分法，也不论在[xi-1，xi]上点ζi采取怎样的取法，只要当λ→0时，Sn总趋近于确定的极限I，我们就称这个极限I是函数 f（x）在区间[a，b]上的定积分，记为：（ζi）△xi。其中，f（x）称为被积函数，[a，b]是积分区间。我们都知道，从几何意义上看，它可以不那么严格地认为，这就是一个曲边梯形的面积：即在平面中以曲线y=f（x）叟0为曲边，与x=a，x=b，x轴三条直边围成的曲边梯形的面积。当然被积函数若不是非负的，只需将 f（x）作为被积函数，则得到的曲边梯形为的相反数。