关于S-半正规子群＊

朱志远，邹慧慧

（1.潍坊学院，山东 潍坊 261061；2.潍坊广文中学，山东 潍坊 261041）

从某一特殊子群出发来研究原群的结构是有限群研究的一种重要方法，其中通过推广正规子群为拟正规子群，半正规子群，弱拟正规子群等来研究群的结构是近年来有限群研究的热点。

首先介绍本文用到的一些基本概念。G总表示一个有限群。G的子群H 称为拟正规的，如果HK＝KH，∀K≤G成立。H称为s-拟正规的，如果H与G的所有Syiow子群可交换。作为拟正规，s-拟正规概念的推广，陈重穆在文献[2]中引进了陈半正规，s-半正规子群的概念。G的子群H 称为陈-半正规的，如果对任意的K≤G，只要（｜K｜，｜H｜）＝1，就有HK＝KH；H 称为s-半正规的，如果对任意的P｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有HP＝PH，其中，p∈Sylp（G）。在本文中我们研究s-半正规子群对有限群可解与超可解性的影响。

1 定义及主要引理

定义1[2]群G的子群H 叫做在G内陈半正规，如果对G的每个子群K，凡满足（｜H｜，｜K｜）＝1者，均有HK＝KH。如果再限制K为G的Sylow子群，则称H为G的s-半正规子群。

引理1[2，7]设H为群G的陈-半正规（半正规）子群。（1）若H≤K≤G，则H 在K 内陈-半正规（s-半正规）。（2）若H为p-群，N为G的幂零正规子群，则HN／N在G／N内陈-半正规（S-半正规）。

引理2 设N≤G，K◁G，则必有N的极大子群N1，使NK／K的极大子群为N1K／K。

证明 设M／K是NK／K的任一极大子群，则M是NK的极大子群。设N1是N的一个极大子群，且M∩N≤N1，由N∩K≤N∩M≤N1得，N∩K≤N1∩K。显然N1∩K≤N∩K，故N∩K＝N1∩K。又由，｜N1K｜＝｜N1｜｜K｜／｜N1∩K｜＜｜N｜｜K｜／｜N∩K｜＝｜NK｜得，N1K＜NK 。但M＝M∩NK＝（M∩N）K≤N1K＜NK，由M是NK 的极大子群可得，M＝N1K。

引理3[4]G设是有限群，N是G的极小正规子群，则F（G）≤CG（N）。特别地，若N交换，则有N≤Z（F（G））。

引理4[5]设G是可解外超可解群，且G满足置换条件，则Φ（G）＝1且

（1）G＝NM，N∩M＝1，M＜·G，N 是G 之唯一的极小正规子群，因而CG（N）＝N。

（2）N 是非循环的初等Abel2-群，N≠P2∈Syl2（G），因而22≤｜N｜＜｜P2｜。

引理5[9]（1）对任意｛p，q｝∈π（G），若G存在｛p，q｝-Hall子群，则G为可解群。

（2）若G存在2′-Hall子群和3′-Hall子群，则G为可解群。

2 主要结果

首先从群G的Sylow子群及Hall子群入手来研究群G的可解性。

定理1 设H为G的Hall子群，若G满足下列条件之一，则G为可解群。

（1）H 可解，且对任意p∈π（G）＼π（H），有G的Sylow p-子群在G中s-半正规；

（2）H在G中有可解补K，H的所有Sylow子群均在G中s-半正规。

证明 （1）任取p1，p2∈π（G），。若p1，p2∈π（H），由于 H 为G 的可解 Hall子群，从而G有｛p1，p2｝-Hall子群。若p1，p2至少有一个不属于π（H），不妨设p1∉π（H），则G的Sylow 子群P1在G中s-半正规。于是，对P2∈Sylp2（G），有P1P2成群，且P1P2为G 的｛p1，p2｝-Hall子群。由引理5（1）知，G 为可解群。

（2）任取p，q∈π（G）。

（i）若p∈π（H），令P∈Sylp（H），Q∈Sylq（G），则P在G 中s-半正规，从而PQ成群。于是G有｛p，q｝-Hall子群PQ。

（ii）若p∉π（H），此时，若q∈π（H），则该情形转化为上述情形（i）。若q∉π（H），则p，q∈π（K）。由于K 可解，于是K 存在｛p，q｝-Hall子群K1，显然K1也是G的｛p，q｝-Hall子群。

从而G总存在｛p，q｝-Hall子群。由引理5（1）知，g为可解群。

定理2 若｛2，3｝∈π（G），且对素数p≠2，3，G的Sylow p-子群均在G中s-半正规，则G为可解群。

证明 令π（G）＝｛2，3，p1，p2，…，pn｝，且设Pi∈Sylpi（G），其中i＝1，2，…，n。P∈Syl2（G），Q∈Syl3（G）。由假设条件知，QP1成群，且QP1为G的｛3，p1｝-Hall子群。再由P2在G中s-半正规知，QP1P2为G的｛3，p1，p2｝-Hall子群。如此不难得出，G 有2′-Hall子群QP1P2…Pn。同理，G 有3′-Hall子群PP1P2…Pn。因此，由引理5（2）知，G为可解群。

在下面几个定理中。我们主要从极大子群的角度来研究群G的超可解性。

定理3 设M为G的具有素数幂指数的子群，若M的所有Sylow子群及它的Sylow子群的极大子群在G中s-半正规，则G为超可解群。

证明 令G为极小阶反例。

设｛p1，p2，…，pn｝是｜G｜的素因子集合，取Pi∈Sylpi（G），i＝1，2，…，n。由条件不妨设｜G∶M｜＝pr1，r≥1，则Pi∈Sylpi（M），i＝2，…，n。再取Q1∈Sylp1（M）。因为P2在G 中s-半正规，故P1P2成群，且P1P2为G的Hall子群。而对P3∈Sylp3（G），有P3∈Sylp3（M），由P3在G中s-半正规，得P1P2P3做成G的Hall子群。由此不难看到G有一切可能阶的Hall子群，故G为可解群。

设N是G的极小正规子群，由引理1与引理2知，MN／N的Sylow子群及它的Sylow子群的极大子群在G／N中s-半正规，且易知｛Q1N／N，P2N／N，…，PnN／N｝是MN／N的一个Sylow 系。由G的极小性得，G／N超可解。于是G／N是可解的外超可解群，从G＝NA而有引理4的性质，其中A＜·G。若N不是p1-群，不妨设N是p2-群，则N≤P2，从而P2＝P2∩G＝P2∩NA＝N（P2∩A）。此时必有p2的一个极大子群T2，使得N≤T2，若否，N包含在P2的任一极大子群之中，则N≤Φ（P2），由P2＝N（P2∩A）得P2＝P2∩A，即P2≤A。于是N≤P2≤A，矛盾。由T2，P3…，Pn在G 中s-半正规，得K＝P1T2P3…Pn为G的一个极大子群，且｜G∶K｜＝p2，N≤K。于是G＝KN，｜N∶N∩K｜＝｜NK∶K｜＝｜G∶K｜＝p2。由N的极小性知K∩N＝1，从而｜N｜＝p2，故G为超可解群，矛盾。若N是p1-群，则N≤P1，此时必有P1的一个极大子群T1，使得N≤T1，于是L＝T1P2P3…Pn为G的一个极大子群，且｜G∶K｜＝p2，N≤L。同上可得｜N｜＝p1，故G为超可解群，矛盾。

推论1 群G有指数为素数的子群H，若H的所有Sylow子群及它的Sylow子群的极大子群在G中s-半正规，则G为超可解群。

定理4 设群G满足置换条件，若G的Sylow2-子群的极大子群在G中s-半正规，则G为超可解群。

证明 设G为极小阶反例。

由于G满足置换条件，故G可解。对任意1≠K◁G，若2∉π（G／K），则G／K为满足置换条件的奇阶群，由文献[8]可知，G／K 超可解。若2∈π（G／K），G／K 满足假设条件，由归纳假设，G／K 超可解。这样，G为可解-外超可解群。由引理4，G＝NM，N∩M＝1，M＜·G。N是G之唯一的极小正规子群。

令P∈Syl2（M），则PN∈Syl2（G）。取P1为PN 的包含P 的极大子群，由于｜N｜＝2α，α＞1，从而P＜P1。由M 可解，可令M＝M2′P。其中M2′为M 的Hall 2′-子群。由P1在G中s-半正规知，M2′P1成群。于是，M＝M2′P＜M2′P1＜M2′PN＝G。这与M为极大子群矛盾。从而极小反例不存在，G为超可解群。

定理5 设M＜·G，｜G∶M｜＝p（p为素数），且M在G中s-半正规，若G满足下列条件之一，则G为超可解群。

（1）M 为循环群。

（2）M 为幂零群，且F（G）≤M。

证明 由条件知M总是幂零群，则由文献[6]中定理4知，G为可解群。

（1）设N是G的任一极小正规子群，则N为初等交换群。若N∩M＝1，则G＝MN。从而｜N｜＝｜G∶M｜＝p，且有G／N≅M超可解。从而G超可解。若N∩M≠1。假设NM＝G。由于N∩M◁M，N∩M◁N。从而N∩M◁MN＝G。由N的极小性知，N∩M＝N。于是N≤M，G＝M。矛盾。故NM＜G，此时M＝NM，从而N≤M。由M为循环群知，N亦为循环群，又N为初等交换群，从而｜N｜＝p。显然G／N满足定理条件，由归纳知，G／N超可解。因此，G为超可解群。

（2）若Φ（G）≠1，则M／Φ（G）＜·G／Φ（G），且F（G／Φ（G））＝F（G）／Φ（G）≤ M／Φ（G）。显然 M／Φ（G）幂零且｜G／Φ（G）∶M／Φ（G）｜＝｜G∶M｜＝p。由引理1.1知M／Φ（G）在G／Φ（G）中s-半正规，由归纳，G／Φ（G）超可解。从而G为超可解群。

若Φ（G）＝1。由G可解知，F（G）＝N1×N2×…×Ns，其中，Ni（i＝1，2，…s）为G 的极小正规子群。由F（G）≤M 知，必存在Nk（1≤k≤s），使Nk≤M，于是G＝MNk。而M∩Nk◁M，M∩Nk◁Nk，从而有M∩Nk＝1。故G／Nk≅M，由M幂零，显然G／Nk超可解。又｜Nk｜＝｜G∶M｜＝p，因此G为超可解群。

[1]陈重穆.内外∑-群与极小非∑-群[M].重庆：西南师范大学出版社，1988.

[2]陈重穆.关于Srinivasan的一个定理[J].西南师范大学学报，1987，12（1）：1-4.

[3]Li Y，Wang Y.The influence of the properties of maximal subgroups on the structure of a finite group[J].数学进展，2007，36（5）：599-606.

[4]徐明曜，黄建华，李慧陵，等.有限群导引（上，下）[M].2版.北京：科学出版社，2001.

[5]郭秀云.有限群为超可解群的充要条件[J].数学杂志，1989，9（2）：161-164.

[6]赵艳萍，徐习明.关于有限群可解性的若干结果[J].青岛大学学报，1995，8（3）：16-19.

[7]黎前修.极小子群与超可解性[J].数学杂志，1996，16（2）：129-132.

[8]Bray H G，Deskins W E，Johnson D，等.幂零与可解之间[M].张远达，文志雄，朱德高，等，译.武汉：武汉大学出版社，1988.

[9]Arad Z，Ward M B.New criteria for the solvability of finite groups[J].J Algebra，1982，77（1）：234.

[10]陈顺民，张良才.关于超可解群的若干结果[J].南京师大学报：自然科学版，2005，8（2）：33-37.