一种高效的隐式间断Galerkin方法研究

郭永恒， 杨 永， 张 强

（西北工业大学 翼型叶栅空气动力学国防科技重点实验室，陕西 西安710072）

0 引 言

在计算流体力学领域，为了高精度地求解非线性偏微分方程组，研究更加复杂的流动现象，间断Galerkin方法已经引起人们越来越多的关注。特别是经过Cuckburn和Shu的长期探索，一种具有TVD性质的显式Runge－Kutta间断Galerkin（RKDG）格式得以逐步完善［1］，被广泛应用于双曲守恒律问题的数值求解，取得了大量令人满意的结果，显示了间断Galerkin方法的优越性。然而，美中不足的是，随着逼近精度的提高，RKDG格式对应的稳定性条件将越来越严格，时间步长受到明显的限制，从而导致更多CPU时间的消耗。对于定常流场的计算问题，尽管可以把当地时间步长技术与RKDG格式相结合，在一定程度上加速收敛过程，但是即便如此，最大的时间步长依然受到当地稳定性条件的限制［2］。缓慢的收敛速度在很大程度上制约着RKDG方法在工程中的应用。基于以上分析，本文建立了一种隐式间断Galerkin（Implicit Discontinuous Galerkin，IMDG）求解器，并通过对翼型亚声速和跨声速流场的模拟，检验了该求解器的计算效率。

1 间断Galerkin方程

在二维区域D上，Euler方程可以写成如下守恒形式

Q和F＝（F，G）T分别代表守恒型流动变量和通量向量。把D划分成Ne个互不重叠的子区域Di，并且设解函数空间为

P（Di）是定义在Di上的多项式空间。设Di上的测试函数集合为，它符合如下条件

为了控制数值离散产生的小量误差，使用加权残量法［3］，在每个单元上作如下内积运算

运用Green公式，我们由方程（4）得到间断Galerkin方程